一种计算空间平面的平面度误差新方法

　　1 理想平面的建立

　　如图1a所示为一任意区域形状的空间平面,其中阴影区域为孔洞或凸台(该区域不属于被测平面)。评定被测空间平面的平面度的首要问题是建立恰当的理想参考平面,使被测空间平面相对于理想平面处于小误差状态。对于一条可视为“匀质”的空间平面,定义三个特征量:特征点为被测空间平面的质心;特征面为被测空间平面的最小二乘平面;特征线为过特征点的特征面法矢。这三个特征量之间的相对位置及与空间平面之间的相对位置关系不因空间平面所在坐标系的不同而不同。因此以这三个特征量为基础建立的局部坐标系,对该空间平面来说是一个恒定坐标系。则该局部坐标系定义如下:坐标系原点为特征点;坐标系Z轴为特征线,其正方向与法矢同向;坐标系X轴为从特征点出发且方向与原测量坐标系X轴方向一致的射线在特征面上的投影线;被测空间平面的平面度评定,首先是建立一个“最佳匹配”的理想参考平面。就是使被测空间平面尽量与局部坐标系的XOY坐标平面重合,并以局部坐标系为基准进行坐标变换。使问题的分析都统一在局部坐标系内进行。

　　2 点到理想参考平面距离的解析表达式

　　如图1a所示,被测空间平面由点集{Pi}表示(i=1,2,,N;N为测量点数目)。评价实测空间平面的平面度误差是通过坐标变换T使实测空间平面上的{Pi}点到理想参考平面距离的最大值最小,该最大距离的两倍即为被测平面的平面度误差。用数学表示为:

　　其中,di为实测点到理想参考平面(即局部坐标系中的XOY平面)的距离。

　　设实测空间平面上的点经过/最佳匹配0后得到点集{Pi},如图1b所示,此时实测平面与理论平面已处于小误差状态,微分坐标变换矩阵为:

　　所要计算的是平面的平面度误差,且经过初步的“最佳匹配”,因而绕Z轴的旋转角度dφ及沿X轴、Y轴的坐标平移dx,dy对平面度的评定影响很小(可忽略不计)。令dφ=0,dx=dy=0,因此微分坐标变换矩阵简化为

　　且坐标变换公式为:Pci=T.Pi

　　3 构造最小二乘意义下误差计算公式

　　不失一般性,设{Pi,j-1}为经过第j-1次微分坐标变换Tj-1作用后得到的实测平面上的点的集合;以此为初始值,分析如何求第j次微分坐标变换矩阵Tj使得到的新点集{Pij}到理论平面距离的平方和最小,新点集到理论平面距离的平方和D2j可写为如下数学表达式(用矢量表示):

　　式中N为实测平面上测点的数目,且Pij-1及E3均为已知向量,只有微分坐标变换矩阵Tj为未知量。Tj由三元描述向量Sj=(dzj,dHj,dU)确定。现在问题的实质为:求由三元描述向量Sj使新点集{Pij}到理论平面的平方和D2j最小。上式对Sj第k个元素求偏导数(k=1,2,3),并令其等于零,则有: