半参数模型在系统误差处理中的应用

　　1　前言

　　半参数模型是20世纪80年代发展起来的一种重要的统计模型[1, 2],具有参数部分和非参数部分。因此,相对于参数模型而言半参数模型具有更大的优越性,也更加的符合客观实际[3]。随着半参数模型理论研究的不断发展和完善,在测量数据处理中的应用也不断的深入,如GPS数据处理、平面坐标转换、变形监测[2-6]等。由于正则矩阵R的构成和平滑因子α的选取比较困难,限制了半参数模型在测量数据处理中的广泛的应用。设计一组模拟算例,将半参数模型与参数模型的解算结果进行对比,以此说明半参数模型在处理含有系统误差的测量数据时的优劣性,并初步探讨了半参数模型在处理系统误差中的适用条件。

　　2　半参数模型及其估计

　　半参数模型具有参数分量和非分参数分量,参数分量表达观测值和参数之间已知的确定函数关系,而非参数分量则表达对观测值影响不确定的部分,测量数据中的系统误差项,基本函数模型为

其中:L是n维观测值向量,X为t维未知参数向量,B为n×t的列满秩系数矩阵,Δ为n维服从正态分布的相互独立的偶然误差向量,S为模型的非参数分量即系统误差项,BX为模型的参数部分,表示观测值和参数之间确定的函数关系。用基于正则矩阵的补偿最小二乘法求解半参数模型,为[5]:

其中:R是一个正定矩阵即半参数模型中的正则矩阵,P为观测值的权阵,α为平滑因子,用来平衡拟合效果和光滑性即调节偶然误差项和系统误差项之间的比例。在补偿最小二乘原则下,根据拉格朗日极值法求解,可分别得到非参数分量的估值和参数分量的估值[7]:

　　利用式(3)和式(4)可以求解半参数模型,但是需要确定正则矩阵R并选取合适的平滑因子α,以确保半参数模型解算结果的精度。正则矩阵R的构造方法主要有样条函数法[8]、时间序列法[9]和构造矩阵法[10]等。采用三次样条函数法构造正则矩阵,其推导过程可参考文献[7,9]。平滑因子α的选择方法主要有信噪比值法[4]、广义交叉核实分值函数法[8]和L曲线法[9]等。本文采用交叉核实分值函数法确定平滑因子α。

　　3　模拟算例及分析

　　为了说明半参数模型在测量数据处理中的应用及其处理系统误差的可行性,对比半参数模型与参数模型的解算结果,说明半参数模型在处理含有系统误差的测量数据时的优劣性。  

　　采用基于正则矩阵的补偿最小二乘法求解,其中正则矩阵R基于三次样条函数法构造,平滑因子α采用交叉核实分值函数法确定。以此模拟数据为基础,改变非参数分量(周期性系统误差)的振幅和频率,再根据解算结果推断系统误差的性质对半参数模型估计结果的影响,以期对采用半参数模型处理测量数据中系统误差的适用条件给出指导性建议。