基于谐波小波包理论检测微弱信号的研究

　　0　引　　言

　　微弱信号检测[1]是一门新兴的技术学科,应用范围遍及光、电、磁、声、热、生物、力学等领域。在信号处理和故障诊断中,微弱特征信号能够表明系统运行的状态特征。在分析时,系统的微弱信号往往包含着系统本身极为丰富的信息。而在工程实际应用中,微弱特征信号通常被噪声所淹没,其信号幅度相对于噪声微乎其微。如何检测出这些微弱信号,具有重要的应用价值。本文提出利用谐波小波包来检测微弱信号。

　　剑桥大学David E.Newland[2]教授于1993年提出谐波小波,它除有通常意义下小波函数的优点外,另外还存在以下优点:小波函数具有明确的函数表达式,无需通过繁冗的尺度函数迭代,算法实现简单,且在频域具盒形紧支谱特性及良好的相位定位能力等[3]。谐波小波的这些优点使其在信号处理中得到广泛应用。本文探索在谐波小波包分解的基础上对微弱信号进行频域频段提取和时域重构,来实现对微弱信号的检测。通过仿真实验,说明谐波小波包能有效地检测微弱信号。

　　1　谐波小波变换

　　1993年,David E.Newland从小波的频谱出发,成功地构造出了具有严格盒形谱特性的小波———谐波小波[4-5]。考虑实函数we(x)和wo(x),(脚标e和o分别表示该函数是变量的偶函数和奇函数),其Fourier变换分别由下式定义:

　　从图1中可以看到,w^ (ω)具有极好的紧支特性和盒形特性,对其进行逆Fourier变换,可得到谐波小波函数:为了得到谐波小波的二进伸缩平移系数,用( 2jx-k)代替中的x(其中j,k均为整数) ,得到:

　　小波的形状没有改变,但它在水平方向的尺度被压缩了2j,并且它的位置在新尺度上平移了k个单位(在原尺度下是k/2j个单位)。这就与二进小波变换在形式上一致了。可以看出,j的值决定了小波的分解层,在j =0层,小波的Fourier变换出现在2π~4π;在第j层,Fourier变换谱出现在带宽2j+1π~2j+2πx。j层频带带宽大于基本频带带宽。

　　1994年,David E.Newland把二进谐波小波推广到广义谐波小波[6]。对于式(5)定义的二进谐波小波,为使分析频带的选取更加灵活,引入正实数m,n(m< n),考虑频带ω∈(2πm,2πn),可以将式(4)广义化为:

　　此时,相应的小波为:

　　以谐波小波为基函数系,对信号作谐波小波将分解,就可以将信号既无交叠又无遗漏地分解到相互独立的频段,任何能量较弱的细节信号都可以被准确地显现出来,从而有利于更好地提取信号特征。

　　2　谐波小波包变换

　　谐波小波时域表达式中的m,n决定了小波变换中的层次,起着与二进小波变换中2-j的j层相同的作用[8]。具体地说,若fh为分析最高频率,则: