有限放大倍数下磁透镜的球差和色差系数

　　在电子显微镜电子光学系统的设计中,必须用及磁透镜在有限放大倍数下(即物点)的球差和色差系数,而一般文献[1]仅给出无穷放大倍数下(即焦点)的像差系数。两者之间的关系一般采用近似公式表达[2]:

　　其中Cs和Cc、Cso和Cco分别为物点和焦点的球差和色差系数,M为放大倍数。式(1)是在弱透镜条件下并在M→∞时,假设电子在透镜磁场中的径向坐标和轴向坐标无关得到的。显然,在透镜较强,M较小时,式(1)会造成很大的误差。有作者[2,3]提出只要物点和像点均在场外,也即整个透镜场都起成像作用,透镜的球差系数(同理,色差系数)可表为放大倍数的多项式:

　　显然,当式(2)取式(1)同样条件时有C0=C4=Cso,C1=C3=4Cso,C2=6Cso和D0=D2=Cco,D1=2Cco。但在实际情况下,多项式的系数Ci和Di为何,尚无文献报导。本文通过计算,给出了对称磁透镜在S/D=0.2～2.0(分档约0.2)、Vr/(NI)2=0.01～0.06(分档0.01)和M=1～1000(分9档)范围内Ci和Di的变化曲线,并据此拟合出精度较高的表达式,可以方便地计算出有限放大倍数下的球差和色差系数,以弥补电镜设计者的缺憾。磁透镜的极靴形状符合文献[4]提出的原则,数值计算采用自行编制的程序[5],并有很好的精度。

　　计算公式

　　磁透镜的球差和色差系数如下所示

　　其中bs(z)和bc(z)仅为磁场强度Bz及其导数的函数,z0、z1分别为物点和像点的坐标,t(z)为一条从物点出发斜率为1的轨迹。如果对式(3)积分,可直接得到物点处准确的像差系数。如果假设t(z)不随z变化,则可推出式(1)。作者[2,3]将t(z)表示为两条特征轨迹r1(z)和r2(z)的线性叠加。r1(z)为一条从物面出发径向坐标为1斜率为0的轨迹,r2(z)为一条从焦点出发斜率为1的轨迹(图1),即有

　　其中x是物点至焦点的距离。这里已用到物点在场外的近似,即r1(z0)=-x。根据牛顿公式有放大倍数M=f/x ,f为焦距。将此式代入式(4)、再代入式(3)即可得到

　　将式(5)和式(2)相对比,即可得到Ci和Di的表达式,据此可进行数值积分,求得Ci和Di,最后可求得Cs和Cc。需要说明的是,虽然Cso和C0,Cco和D0的被积函数一致,但其积分限不同,故两者有异。由于Cso和Cco可以从文献[1]中查得,为了方便起见,我们考察Ci/Cso和Di/Cco。

　　计算结果

　　1.我们先对式(1)、(3)和(5)进行比较。图2为Vr/(NI)2=0.01,S/D=0.6时三者的变化曲线(其它条件下亦类似),可见式(3)和式(5)的曲线完全一致,这说明式(5)满足其假设。在M较大时,三者趋于一致,但在M趋于1时,式(1)和式(3)、(5)的误差达到最大,而且均有式(1)大于式(3)、(5)。因此,如果在设计电镜时,由式(1)来计算有限放大倍数下的球差和色差系数,相当于留有一定的设计余量。图3给出了球差和色差系数在不同放大倍数M(色差系数时记为M′)时误差小于5%的区域(曲线和右边界所围的区域),在此区域内可用式(1)计算,区域之外特别是Vr/(NI)2较小时,误差上升很快,Cs的最大误差可达180%,Cc可达24%。