机器人控制中的变结构观测器

　　1　引言

　　于非线性系统,文献[1~3]提出了几种非线性观测器的设计方法。第一种是利用扩展线性化技术将非线性系统线性化或者伪线性化[4~6],这种方法可以使得误差动态矩阵的特征值为常值,且分步在平衡点附近。也有一种将非线性系统转换为线性系统的技术,这种技术在非线性系统中引入新的输入,以使观测量线性化。第二种方法采用系统的动态误差作为观测量,达到线性化的目的[7]。这些方法的应用都基于这样一个前提:系统的动态方程中没有不确定量或者扰动量[8]。采用状态向量的部分信息进行机器人控制可以采用两种途径。一种直接的解决思路是采用两步法:第一步,构建非线性观测器,观测器由有效的输入和输出驱动,从而重构缺失的速度信息;第二步,设计一个状态反馈控制器,采用从观测器中重构的信息取代实际速度信息。基于以上流程,在机器人控制中,很多只采用位置信息的控制方法发展起来[9~12]。这些观测器可以保证观测误差的指数渐近稳定,但仍然没有考虑系统的不确定性,虽然在某些条件下,这些观测器具有一定的鲁棒性。这个问题的另外一种解决方法是设计鲁棒观测器。Walcott提出了针对非线性系统的变结构观测器。Walcott提出了对于线性部分和非线性部分分界明确的系统的观测器设计方法,同时分析了观测误差的最小收敛速度。这种观测器实际上是一种传统的勒贝格观测器,但增加了一个开关参数,从而保证系统存在模型误差和不确定性时的鲁棒性。由于额外增加了开关参数,造成了变结构系统的抖动。为解决抖动问题,需要调整观测器,并考虑设置边界。但调整后的观测器又难以保证动态观测误差的渐进稳定性,只能获得全局一致边界稳定。本文采用变结构观测器解决只有位置信息的情况下,n自由度的机器人控制跟踪问题。在系统的非线性和不确定性边界明确的情况下,可以保证观测误差的指数稳定。不同于其他观测器的是,本文设计的变结构观测器,系统的动态特性和误差可以得到修正。

　　2　变结构观测器

　　考虑非线性系统:其中:x(t)∈Rn为状态向量,y(t)∈Rp为输出向量,u(t)∈Rm为控制输入。f(x,u,t)关于x(t)连续,代表非线性和不确定部分。问题是:设计一个观测器,观测器的输入为y(t),u(t),观测器的输出为x^ (t),要求x^ (t)在有限时间内收敛到真实状态。如式(2)所示

　　L为正定单位矩阵,待设计。观测误差可以定义为:e=x^-x。观测误差方程为:可以证明e按指数收敛。可以发现,式(2)(3)定义的观测器为增加了开关参数v0(t,x^ ,y)的传统的勒贝格观测器,开关参数可以保证非线性条件下的鲁棒性。很不幸的是,增加的开关参数v0(t,x^ ,y)将导致系统的抖振。因此,需要设计一个增益法则,保证误差连续且状态向量收敛到实状态。为了满足以上提出的要求,采用边界层策略,边界层策略保证增益函数是连续的。改变式(3)为: