稀疏信号恢复理论在CT图像重建中的应用

　　对于有限角度重建算法的研究，不仅是对重建算法应用于实际的一种推动，也会对进一步减少精确重建的数据量有一定的启示作用。目前重建算法大体分为解析型算法和迭代型算法两大类，迭代型算法以 ART(Algebraic Reconstruction Technique)算法[7]为代表，三维解析型算法中的近似重建算法以 FDK(Feldkamp, Davis and Kress)[8]为代表，精确重建算法以 PI-线算法系列[9-14]为代表。

　　在有限角度重建问题中，投影数据很难满足解析型重建算法所需要的数据完整性条件。文献[15]描述了一种近似算法，在有限角度范围内能够稠密采样的情况下，可以重建感兴趣区的图像，而且伪影相对较少。除此之外，大多数情况下通常使用迭代型算法进行重建。有限角度问题的具体重建算法很多，大致也可分为两类：基于变换的迭代-解析重建算法和基于级数展开的迭代-代数/统计重建算法[16-17]。然而，实际应用中，大多使用 ART 方法及改进的代数/统计迭代算法[18-26]，这些方法占用存储空间远大于解析型算法，运算时间也与解析算法存在量级上的差异。也可以说，对于具体的有限角度数据重建问题，至今还没有一个实用的方法，能够在速度和重建质量方面都达到较高的要求[27]。

　　Terence Tao(陶哲轩)，2006 年菲尔兹奖获得者之一，在调和分析、数论、组合等多个数学分支中都获得了丰硕的研究成果。陶哲轩在从事数学理论研究工作的同时也注意将数学理论与实际问题相结合，他与合作者于 2004 年共同提出的稀疏信号重建理论，在图像重建、解码、误差估计等诸多问题中都有很重要的指导意义，并引起国际上图像重建领域重视，开始进行跟进研究[28-29]。

　　1 稀疏信号恢复理论与图像重建策略

　　1.1 稀疏信号恢复理论

　　2004 年，Terence Tao 等提出了一种稀疏信号恢复的全新理论，在文献[30]中详细阐述了这一理论并给出了严格的证明。这个理论的主要结论为：对一个稀疏的离散信号，只需知道这个信号的部分频域取值，就能以高概率精确恢复这一信号。具体的恢复方式是通过求解一个凸规划实现的，该规划的目标函数为此信号的 l1范数最小，约束条件由已知的频域取值得到。具体形式表示为：

　　这一理论提出后，Tao 等又对它进行了发展[31-34]，给出了更一般的结论：可以通过求解凸规划从少量的线性测量中重建稀疏信号。有了这样的发展之后，使得这一理论更有利于在各种稀疏信号恢复中应用。对于有限角度的重建问题，只需要知道一定数量的线性测量值，就可以进行精确重建。由于投影过程经过离散化取对数之后就是一个线性求和过程，可以认为有了一定数量的投影数据就可以进行精确重建。