激光激发薄管中超声兰姆波的数值模拟

　　引 言

　　激光在材料表面能激发多种超声波，由于兰姆波可测量构件的厚度、探测分层、裂纹等缺陷，所以很有必要从理论上得到兰姆波的具体情况。目前，对薄板材料的激光热弹激发兰姆波的研究前人已经作了很多工作[1, 2]，管状材料中的热传导方程和热弹方程的求解要比板状材料复杂得多，文献[3] 利用本征函数展开法得到了脉冲激光轴对称打在管外壁时各点振动的瞬态解，但对非轴对称的情况这种方法显得太过复杂。目前，对管状材料非轴对称照射下激光超声的研究大部分限于实验研究[4]，如果能用数值的方法模拟出管状材料中激光兰姆波的具体形式，那么将给管状材料的无损检测提供理论依据。由于有限元方法能够灵活处理复杂的几何模型并且能够得到全场数值解，因此在本文的研究中，我们采用有限元法来求解热传导方程和热弹方程，对热弹机理下薄管中的兰姆波进行研究。我们用有限元法首先求解热传导方程得到瞬态温度场，然后再把最高温升时刻的温度场作为新的加载求解热弹方程，从而得到位移场。

　　1 理论模型

　　本文考虑脉冲激光经柱状透镜会聚后垂直辐照到管状材料外表面，由于在管状材料中我们的目的主要是看激光超声沿圆周向的传播，所以采取在管长方向上都有激光辐照这种简化模型。如图1 为模型的截面图，是垂直于圆管轴向所取的一个截面，R1, R2是样品圆管的内、外半径。这种情况下的具体的热传导公式以及边界条件和初始条件见我们的前期工作[5]，求解满足边界条件和初始条件的热传导方程就能得到各点的温度场 T(r, φ, t)。得到温度场 T(r, φ, t)后，在热弹性体中，位移满足:

　　求解满足以上边界条件和初始条件的热弹方程就能得到各点的位移场 U(r, φ, t)。用有限元方法研究激光激发超声时，数值积分的稳定性取决于有限元模型的时间步长和单元长度，为保证求解的精度，时间步长必须足够小，以保证最小的时间步长应和二个连续节点之间波的传播时间相对应。时间步长越小求解精度越高，而太小的时间步长则需要大量的计算时间，具体的把有限元方法用于激光超声的研究见我们的前期工作[6]。

　　2 数值模拟结果和讨论

　　基于上述理论，本文计算了 Nd:YAG 激光器激发的激光脉冲经柱状透镜会聚后，作为表面加载作用在管状铝材料外表面时所产生的温度场和由此产生的弹性波。得到 Lamb 波的一个重要条件是管壁的厚度与波长处于同一数量级，为了在管中得到Lamb 波，我们取铝管内半径为 1cm，外半径为 1.03cm，即管壁厚只有 300μm，是个薄管。由于通常情况下 Nd:YAG 激光器激发的激光半径约 3mm，激光束经柱状透镜后，在轴向没有会聚，长为 6mm;在周向有很大的会聚。由于具有面对称性，所以模型长取一半为 3mm，角度 ±1° 对应的外弧长范围内都辐照激光脉冲，即等效于入射的激光束经柱状透镜会聚成为长 6mm、宽380μm 的一近似线源。激光能量取为 100mJ，这能量保证激光激发过程在材料的热弹机制下。由于激光超声通常用于微结构的研究，所以我们考虑纳秒级的脉冲激光，激光的脉宽取为 10ns。铝的反射率 R 取 0.9，且铝管表面吸收的能量全部转变成热能，和周围介质没有热交换。研究温度场所需的铝材料的热传导系数、比热和密度随温度的具体变化关系见文献[5]，研究超声所涉及的铝的力学参数分别为杨氏模量7.02×1010Pa，泊松比 0.34，热扩散系数2.31×10-5K-1，Lamb 常数λ 为 5.81×1010，μ 为 2.61×1010。