基于范数优化的并行磁共振成像算法

　　磁共振成像(MRI)因其清晰的成像效果和安全性已成为重要的临床诊断手段,提高其成像速度是当前研究中的一个重要且有挑战性的问题.近期,并行磁共振成像[1](PMRI)的提出打破了传统成像方法中由梯度磁场性能决定的成像速度极限,开创了快速磁共振成像的新阶段.

　　PMRI的主要特点是引入多线圈并行采集技术.通过使用多个线圈的敏感度编码(sensitivity enco- ding)来代替K空间里数据采集过程中的相位编码(phase encoding),可以减少相位编码方向上的采集行数,大大缩短采集时间.但是并行采集实质是降采样,需要重建未采集数据,即如何根据降采样获得的数据恢复出一幅不缺失有用信息的图像.目前获得商业应用的并行成像方法有SENSE算法[2]和GRAPPA算法[3].前者是在图像域通过对折叠图像反折叠(unfold)获得图像;后者是在K空间中根据采集的数据和附加采集的数据确定采样行和未采行的线性关系,估计未采集的数据,获得完整的K空间数据后成像.这 2种算法都涉及对未采集数据的恢复.

　　如果并行采集线圈组在数据采集过程中是基于笛卡儿坐标系里的降采样,而且并行成像加速因子小于线圈组中线圈个数,那么GRAPPA算法和SENSE算法的重建过程都可以形式化为解超定(overdeter-mined)线性方程组的问题[4],它们采用的基本算法都是最小二乘算法(LSM ).虽然LSM可以快速重建出质量能接受的图像,但是如果仅基于该方法,则会限制算法设计及优化的灵活性.此外,重建问题也可以看作是估计问题,如估计GRAPPA算法中提出的线性模型的权重值、SENSE算法中的逆阵等.虽然LSM估计结果的统计性质可能较好,但不是任何情况下都有效的,即仅仅依靠LSM,得到的重建结果不是最优的.

　　本文通过讨论不同矩阵范数(1,2,∞)对GRAPPA算法和SENSE算法中线性系统求解的影响,以及对并行成像中折叠伪影的抑制,分析范数优化[5]在并行成像算法中的应用.

　　1　数学描述

　　GRAPPA算法中使用的数学模型是一个线性模型.该算法根据第j个线圈的K空间中间区域正常采样行Sj(ky)和附加采集行Sj(ky-mΔky),估计线性模型的参数(权重值)n(j,b, l,m),然后重建K空间中其他区域的未采集行.估计权重值和重建未采行所用到的线性模型描述为[3]

　　式中,L为线圈组中线圈个数;Nb为线性模型中定义参考块的个数,根据经验选取为4~8;Δky为K空间中相位编码方向上行间距(单位空间频率);A为并行采集加速因子,决定了采样行数.式(1)在估计权重值和重建未采行时可以用如下矩阵方程进行描述:

　　式中,Sjr表示第j个线圈中需要重建的未采行,维数为Nf×1(Nf为频率编码数);S表示L个线圈中LNb个正常采集行,维数为Nf×(LNb);N　j表示第j个线圈对应线性模型的参数向量,维数为(LNb)×1.重建出K空间中所有未采集行,便可获得最终图像.