光学表面的分形特点与模拟表征算法

　　光学表面的微观结构呈现出随机性、无序性和多尺度属性,采用统计参数(如均方根误差RMS)反映表面形貌特征是一个不稳定的随机过程,其测量值依赖于采样长度、仪器分辨率和数据处理方法,对同一表面这些值可能是不同的,难以用通用参数进行表述。因此,需要寻找一个在一定范围内描述光学表面几何结构的稳定参数。大量研究表明,光学表面具有自相似性:将微观轮廓不断放大时,越来越精细的结构不断出现,光学表面在一定尺度范围内具有分形特征。

　　分形理论(Fractal Theory)是研究和处理具有标度率特征的不规则图形的强有力工具,其能够通过简单的参数(分形维数Df,Fractal Dimension)描述表面形貌的复杂程度。由于分形维数具有对测量尺度的不变性,它可以将表面的基本信息转换成一个最简单的表征形式,而不需用大量参数来描述,因此分形法提供了一种从微观分子到宏观尺度描述表面形貌的有效手段。下面利用分形模型来表征光学表面在一定尺度范围内的轮廓结构。

　　1　分形维数的结构函数计算法

　　在工程表面中,测量和计算分形维数的常用方法包括功率谱密度函数和结构函数。功率谱密度函数是通过FFT变换将离散高度转换成频率进行计算,存在许多近似;结构函数直接根据高度信息计算,而且总是正值,避免了相约误差,因此结构函数比功率谱密度函数具有更高的准确性。

　　下面分析结构函数的求解原理,设光学表面测量区域内的轮廓高度为x[i](i =0,…,N-1,N为采样点数),n为i的任意增量,定义x[i]的结构函数为:

　　根据分数布朗运动原理,随机表面的结构函数可以简化为:

　　其中G为形貌特征参数。

　　从(2)式可以看出,结构函数满足幂定律,将等式两边取对数,有:

　　对特定表面来说,形貌参数G是一个常数,它决定着曲线在坐标系中的位置,但并不影响曲线形状。如果以log(n)作尺度、logS[n]作测度,在坐标系中拟合出曲线斜率K,则分形维数可以表示为:

　　求出分形维数后,就可以定量描述混沌吸引子的“奇异”程度:对于光滑表面而言,误差信号随机分布,相应地,分形维数较大;如果表面存在明显划痕,误差行为被吸引到这一区域,维数会降低。因此分形维数能够反映光学表面微观结构的“复杂”程度,是空间频率和表面幅值的综合体现;理论上,特定表面的分形维数是一个“固有参数”,不随测量尺度的变化而改变。

　　下面以SiC光学零件的抛光加工为例来研究它的形貌特征,采用W1金刚石微粉抛光后的表面轮廓见图1(a),粗糙度RMS= 12nm;采用FP1.2氧化铈微粉抛光后的表面轮廓见图1(b),粗糙度RMS=6nm。根据式(3)计算出结构函数和尺度的曲线关系见图2,在一定的尺度范围内它们具有很好的线性关系,存在着显著的分形特征,其中(a)图中拟合直线的斜率K= 0.69,分形维数Df= 1.655;(b)图中拟合直线的斜率K= 0.51,分形维数Df= 1.745。