力-变位关系全过程模拟的有限元位移控制新方法

    在材料、构件及结构的力-变位(应力-应变、力-位移和弯矩-曲率等)关系非线性全过程曲线物理模型和有限元数值模型分析中，极限强度和其后的软化下降段模拟一直是未得到较好解决的难题。由于极限强度判定的困难和力对应的变位关系的多值性，荷载增量控制方法难以实现材料、构件及结构的力-变位关系非线性全过程曲线模拟，位移增量控制方法是唯一的选择。对于物理模型试验而言，位移增量控制方法的关键在于试验加载装置的刚度方面，它要求试验加载装置的刚度要足够大，以便能够准确控制施加的位移增量，防止由于位移增量误差造成突然的冲击破坏。对于有限元数值模型试验而言，难点在于跨越力-变位关系中的极值点(极限强度)以及极限强度后的软化下降段模拟。对于前者，由于荷载增量控制方法无法跨越力-变位关系中的极值点[1]的固有问题，原则上得材料构件及结构的力-变位关系非线性全过程曲线模拟这一问题求解只能借助于位移增量控制方法。对于后者，则涉及到由于负刚度引入带来的“病态”方程求解问题(源于负刚度条件下的模型状态刚度矩阵非正定性)。实际上，从物理角度看，极限强度后的软化下降段模型是不稳定的，很小的误差都会带来试验解的极大差异甚至导致试验解的迅速发散。为解决这一问题，提出了种迭代方法[2―3]，但基本上是基于荷载增量控制方法建立的，当然这些迭代方法也容易在位移增量控制方法中应用。它们在一定程度上解决了“病态”方程求解方面的困难。

    位移增量控制法是通过引入给定力作用节点的位移增量来反求荷载增量和其它未知节点的位移增量的。由于在力-变位关系中变位对应的力的关系是单值的，这一方法能方便地跨越力-变位关系中的极值点。但是，在采用基于有限元方程的传统的位移增量控制法求解时，需要依据给定力作用节点的位移增量来重新排列刚度矩阵[4―5]，新排列的刚度矩阵不再具有对称性和带状性，因此，求解时需要的存储单元较多，这是该方法的一个严重的缺点。为克服这一缺点，郑宏[5]利用 Sherman-Morrison 定理，得到了一个非对称和带状系数矩阵的简化的有限元位移控制算法。

    为实现材料、构件及结构的力-变位关系非线性全过程曲线的数值模拟，本文提出一种新的位移增量控制法，该方法不需要重新排列刚度矩阵，可简单地通过对角元素乘大数法将边界条件与控制位移增量引入到待求有限元增量方程的刚度矩阵中，从而保证了刚度矩阵在求解计算过程中的对称性和带状性，并可方便地直接利用现有的通用商业有限元软件进行求解。