弹塑性随机有限元在低周疲劳分析中的应用

　　1 前言

　　低周疲劳分析是建立在局部应力应变的基础上的，其分析的精度取决于局部应力应变的计算精度。局部应力应变的计算工程上大多采用近似诺伯法，弹塑性有限元是一种更为精确的计算方法^[1] 。

　　实际的零构件受许多不确定因素的影响，因此局部应力应变响应为随机的，目前许多低周疲劳分析研究成果已揭示了这一点[2]~[7]。现有的文献中获得局部应力应变随机响应有两种途径：① 在实验基础上，通过统计方法获得^[2][3];② 运用近似方法计算获得，现有的计算方法均是建立在诺伯法基础上的^[4]~[7] 。本文提出的交变载荷下弹塑性随机有限元法，是一种更为精确的计算方法，其结果可以直接用于低周疲劳应变可靠性分析。

　　2 交变载荷下的弹塑性有限元

　　传统的局部应力应变法预测裂纹形成寿命时，一般采用诺伯法等近似方法进行局部应力应变计算。而这些方法通常是以单轴应力假设为条件的，不能考虑实际零部件危险部位的多轴应力状态，也不能考虑材料瞬态局部应力应变的响应情况，因而常常存在较大的偏差。

　　本文运用文献[8],[9]所给出的交变载荷下的弹塑性有限元方法，计算得到多轴局部应力应变响应，计算中考虑了材料的瞬态响应特性。计算原理为：在复杂加载情况下的应力计算应当采用运动强化模型，以便反映塑性变形引起的各向异性和包辛格效应。Mroz 提出一个切线模量场模型，在随机加载过程中只要记忆等切线模量面的瞬态位置及大小，即可进行应力应变分析。它提供了在复杂加载过程中进行应力分析的正确方法。Jhansale 模型采用了分段折线式的骨架曲线来描述应力应变曲线，采用可用性系数的方法来考虑每个折线段在交变加载下的记忆特性，是 Mroz 模型的一个特例，在材料的单向拉伸和压缩的过程中是可以得到精确结果的。具体可参考文献[8],[9]。对于交变载荷，每一次变载称作一个反复。每个反复都是在前次反复的末状态的基础上，取一个零应力应变状态起始，无卸载的均匀加载。所以它完全无异于一个全量性质的弹塑性问题，只是每次反复所遵循的应力应变关系和瞬态屈服点不同。这是由于材料的记忆特性和循环硬化/软化现象引起的。每一个反复的计算步骤为：

　　(1) 用 Jhansale 可用性系数法描述瞬态应力应变关系曲线。瞬态应力应变关系曲线是以分段折线形式给出的，每一个分段的大小用一个可用性系数表示。可用性系数的指导思想是当某段折线在一个方向上用过一部分或全部之后，再进行下一个相反方向的反复时，这一折线段便有可能再增加上一次已经用过的这么多可供利用，可以确定两次反复之间其可用性系数之总和应为 2。第 m 次反复的可用性系数不仅与当时的应力水平有关，而且与前次反复的可用性系数有关。第 m 次反复时的应力应变关系曲线的第 j 段的可用性系数 F( j)m按下式计算：