基于空间矩阵束的超声彩色血流成像算法分析

    1. 介绍

    近来，一种称为矩阵束的算法被用于超声彩色血流成像，并被证明在各种信噪比环境下好于传统自相关算法。本文利用空间信号进行平均，用以消除由噪声引入的混叠现象，并且在低信噪比环境下提供准确估算。一种多普勒信号模型被用于实验分析。本文其余部分组织如下：第2部分介绍矩阵束算法的理论原理；第3部分给出实验分析；最后部分得出结论。

    2. 空间矩阵束方法原理

    矩阵束算法是一种参数化谱分析方法。它将多普勒信号看作是由一系列复指数信号叠加而成的信号模型，表示如下：

其中，K信号模型的主成分阶数，A_m是复振幅，f_d,m是第m阶主成分频率，T_pri是脉冲重复频率，w代表白噪声，N是多普勒信号的采样大小。矩阵束算法将多普勒信号划分为相互重叠的片段，并依次作为矩阵的行，形成一个Hankel矩阵。对于大小为N的多普勒信号，Hankel矩阵表示如下：

其中，L是维数参数，必须满足L≤Ceil(N/2)，Ceil(N/2)是大于或等于N/2的最小整数。为了后面的矩阵降秩，L的最佳选择在N/3和N/2之间。

    通过分别删除H的第一行和最后一行，构造一组矩阵对X₁和X₀。在无噪声情况下（也就是说，w(nT_pri)=0），X₁和 X₀能够分解为下述形式：X₁=Z_LBZZ_R^T和X₀=Z_LBZR^T，其中Z_L=[Z₁Z₂… Z_K]，Z_m=[z_m⁰z_m¹… z_m^{(N- L- 1)}]^T，z_m= exp(j2πf_d,mT_pri)，m=1,…,K，B=diag(A₁,A₂,…,A_K)，Z=diag (z₁,z₂,…,z_K)，Z_R与Z_L相似的结构，T表示矩阵转置。基于这种矩阵分解形式，矩阵束X₁- λ X₀能表示为：

    X₁- λ X₀=Z_LB[Z- λI]Z_R^T      (3)

    从上述表达式的Z- λI项中可以看到，如果λ等于Z中主对角线元素，那么矩阵X₁- λX₀的秩下降1。因此，在无噪声情况下，{z_m}是矩阵X₁- λX₀广义特征值λ_m。第m阶主多普勒频率可以从第m个广义特征值得到，表示如下：

矩阵束的广义特征值与矩阵X₀+X₁的特征值相同。上标+表示伪逆矩阵，可以通过矩阵的奇异值分解计算。

    在有噪声情况下，如果在计算广义特征值前，对矩阵X₁和X₀进行降秩处理，那么X₁和X₀的矩阵分解形式仍然成立。一种有效的矩阵降秩方法是，先计算Hankel矩阵H的降秩矩阵，然后再构造矩阵对。降秩操作一般通过奇异值分解进行，表示如下：