利用坐标变换推导经纬仪三轴误差

　　经纬仪是一种精密测角仪器,可用于测量水平角和垂直角。经纬仪的三轴误差一般指调平误差,水平轴误差及视准轴误差。我们定义垂直轴线对理想轴线的倾斜为调平误差;并含垂直轴的幌动误差;水平轴线不垂直垂直轴线为水平轴倾斜误差;视轴不垂直于水平轴线为视轴误差。由于上述三项误差的存在,使经纬仪产生指向误差。过去一般都采用球面三角学的方法,作某些简化后推导上述项误差,本文尝试坐标变换方法,不作任何简化推导经纬仪误差,其基本方法如下:

　　1　基本思想

　　设空间某一点K(S1,S2,S3)在地平坐标系中的坐标如图1所示:

　　其中:S1——指向正北;

　　　(1)

　　S2—垂直于S1、S2构成的平面;

　　S3——指向天顶,组成右手坐标系;

　　O——测量原点(即经纬仪站点);

　　L——目标斜距;

　　α0——目标在地平坐标系中的方位角;

　　λ0——目标在地平坐标系中的高低角。

　　设经纬仪的传感器(可以是摄影、电视、红外等)坐标系为[P1,P2,P3]T(其中P1——过传感器像面中心的视轴,P2和P3构成像面),经过连续地从地平坐标系到照准架坐标系、水平轴坐标系,最后到传感器坐标系的正交坐标转换后,空间目标在地平坐标系中的坐标与传感器坐标系中的坐标关系可由(2)式表示。

　　　　(2)

　　其中: [M]——正交变换的总变换矩阵。

　　对(2)式求逆,则有:

　　　　(3)

　　由于矩阵[M]为正交变换矩阵,因此有:

　(4)

　　　　(5)

　　把[M]T代入(3)式并展开则有:

　　　　(6)

　　　　(7)

　　根据前面的讨论,我们假定目标在经纬仪像平面坐标系上脱靶量为零,P1代表仪器光轴,则有(P2=P3= 0) ,下式存在:

　　(7)式与(1)式联立,则有:

　　　　(8)

　　其中:

　　m4i=mi4= 0,(i≠4),i= 1,2,3

　　(8)式就是利用坐标变换推导经纬仪三轴误差的方程组。由于(S1,S2,S3)是指向空间某一点坐标,当P轴指向该点时,则有L=P1。而式中m1i(i= 1,2,3)是经纬仪含有三轴误差的变换矩阵。

　　2　推导步骤及结果

　　根据前面的讨论,经纬仪的三轴误差分别为调平误差,水平轴误差及视轴误差。由于本文基本出发点是基于坐标变换。因此,利用坐标系分别绕S1轴,S2轴及S3轴旋转并用M1,M2,M3分别来表示形成的变换矩阵构成上述三种误差所需的矩阵。

　　2.1　调平误差(Vav)

　　调平误差会引起经纬仪垂直轴的倾斜。由图1来定义调平误差的变换矩阵,其变换步骤为:

　　①绕S3轴转av②绕S2轴转V③绕S3轴转(av-a)④绕S2轴转λ