超磁致伸缩执行器的自由能磁滞模型的优化算法研究

　　0　引言

　　目前,对超磁致伸缩执行器的本征非线性和磁滞效应的控制是基于磁滞模型而设计的[1~3]。针对Preisach磁滞模型[4]引入了大量与系统无关的参数,Jiles-Atherton磁滞模型[5]存在有模拟次磁滞环的缺陷,2003年,Smith等[6]发展了一种自由能模型,该模型运用了Helmholtz-Gibbs自由能关系和统计学分布理论,改进了Preisach磁滞模型和Jiles-Atherton磁滞模型的缺点。文献[7]将该自由能磁滞模型用于超磁致伸缩执行器的鲁棒控制。但文献[6]在阐述了此磁滞模型后,对其数值实现只是简要地作了说明。由于磁滞模型的建立是为了用于实时控制系统中,所以在对其进行数值模拟时,不仅要保证计算的精度,更为重要的是要使运算时间达到能进行实时控制的性能,所以有必要对此磁滞模型的数值模拟进行详细的分析,从而找到一种在保证精度的同时又能提高计算效率的计算方法。基于此,本文研究了超磁致伸缩执行器自由能模型的特点,提出了不同的数值实现算法。

　　1　超磁致伸缩执行器自由能磁滞模型

　　2003年,Smith等[6]分析了超磁致伸缩棒(Terfenol-D)的晶粒结构,运用了Helmholtz-Gibbs自由能关系和统计学分布理论,提出了模拟磁化强度M和磁场强度H的超磁致伸缩执行器自由能磁滞模型,其模型方程为

2　超磁致伸缩执行器自由能磁滞模型的数值计算具体分析

　　对超磁致伸缩执行器自由能磁滞模型进行数值计算,需解决两个问题:如何进行积分离散化以及积分核函数如何实现。

　　2.1　积分离散化

　　由直观可见,式(1)表示的自由能磁滞模型双重积分形式形如Gauss-Laguerre积分和Gauss-Hermite积分[7],因此积分离散化可采用两种积分的复合高斯积分方法,此时实现该自由能磁滞　　模型的数值计算公式为

　　再则,利用指数衰减快的特性,把积分限截短为有限区间形式,然后利用Gauss-Legendre积分来进行积分离散化,此时实现该自由能磁滞模型的数值计算公式为

　　2.2　积分核函数的实现

　　由自由能磁滞模型可知:积分核函数是个分段函数,实现核函数的关键是采用何种方法实现其判断条件。经分析有直接法和矩阵表示法两种方法可以实现:①直接法即采用超磁致伸缩执行器自由能磁滞模型所显示的表达式进行直接编程计算。此时判断条件直接采用当地磁化强度发生转捩的时间集合τ(t);②矩阵表示法采用一通式来表示当地磁化强度-M,即

　　这里Δ体现了分段核函数判断条件,当Δ=1时,表示此时的当地磁化强度值在核函数的上分支,Δ=-1时,表示此时的当地磁化强度值在核函数的下分支。此算法的关键在于如何构造Δ,因为有效场h和临界磁场强度Hc都被离散化了,因此对于任一给定磁场强度,要算出磁化强度,必然会引起Ni×Nj次关系,矩阵表示法用一通式表示了当地磁化强度-M,所以对于离散算法,可以用矩阵相乘实现求和。因此,Δ应是一个Ni×Nj的矩阵,其中第ij个元素表示第j个有效场hj是否是刚好跨过了第i个临界磁场强度Hci,即Δij=sign[hk-sign(Hk-Hk-1)Hc],以此表达式完成了判断条件,它等效于超磁致伸缩执行器自由能磁滞模型中分段判断条件。其中Hk表示离散化磁场强度组成的数组中第k个元素对应的磁场强度值。