亚波长位相光栅矢量衍射理论的数值计算

　　引　言

　　近年来,衍射光栅的衍射特性,特别是当光栅的特征尺寸接近或小于所使用的光波波长时,由于它的科学意义和在许多方面的广泛应用前景,对其衍射特性的研究日益受到众多学者的重视。衍射光栅的分析可以采用标量或矢量衍射理论。目前,标量衍射理论较为成熟,但是它仅适用于光栅的特征尺寸远大于入射光波长的场合,而当光栅的特征尺寸接近或小于波长时,此时成为亚波长结构,它的衍射特性已不能用标量理论来圆满解释,而必须用严格而有效的矢量衍射理论来分析,在研究光栅衍射特性的实际问题中,先后提出了积分法[1]、微分法[2]、耦合法[3]、等效介质理论[4]和模式匹配法[5]等。由于模式匹配法的数学描述及方程求解相对容易些。因此,本文采用模式匹配法[5]来分析和讨论亚波长结构位相光栅的衍射特性。

　　1　理论基础

　　我们考虑的周期型亚波长光栅结构如图1所示,不考虑光栅对光的吸收损耗。第一层和第四层为空气层,第二层为基底层,第三层为光栅层。图中h是光栅深度,d是基底厚度,T0是光栅周期,T1是光栅线宽,占空比系数e=T₁/T₀。

　　光栅线条沿Y轴,基片平面垂直于Z轴,把求解区域划分为四个水平层,在每个水平层内介电常数具有周期性,使ε(x)=ε(x+T₀),而μ=μ₀。在一个周期内,当x∈(0,T₀-T₁)时,ε=ε0;当x∈(T1,T0)时,ε=ε0εr,εr为相对介电常数。研究当电磁波垂直入射到光栅基片时,反射波和透射波的场分布及其各级的衍射效率。入射电磁场的周期性和光栅的周期性条件要求

　　解广义本征值方程(5)得Λ和b,本征函数阵Ψ(x)就可以完全确定了。再利用纵向边界条件进行模式匹配,引入

　　F_m,_m+1:模式变换系数阵,代表把第m层的模式转换到第m+1层的模式变换系数阵。

　　R_+m:反射系数阵,代表第m层上界面Zm处的反射系数阵。

　　R_-m:反射系数阵,代表第m层下界面Zm-1处的反射系数阵。

　　C_+m:振幅系数列条阵,代表第m层上界面Zm处入射波的振幅系数列条阵。

　　C_-m:振幅系数列条阵,代表第m层下界面Zm-1处入射波的振幅系数列条阵。

　　T_m:透射系数阵,代表在上界面处从第m层向第m+1层的透射系数阵。

　　可得透射波和反射波场的表达式,然后把透射波和反射波场的表达式按各级衍射波展开,根据衍射效率的定义,可知透射波和反射波中第k级的衍射效率分别为

可用此式来验证计算结果的正确性。

    在计算过程中,发现真实传播的衍射波的级次是有限的,当λ0