计算机控制光学表面成形中大规模驻留时间求解

　  驻留时间算法是计算机控制光学表面成形（ＣＣＯＳ）的关键技术之一。国内外常见驻留时间求解方法有脉冲迭代法、傅里叶变换法、数值迭代法和矩阵求解法等。脉冲迭代方法存在计算发散的问题［１］。傅里叶变换法利用时域卷积等同频域乘积的原理，将时域卷积运算变换到频域作乘法运算，计算效率高，但需多次调整参数来实现驻留时间解的非负［２］。数值迭代法先根据初始面形误差给驻留时间函数一个初始值，然后根据一定的公式反复迭代，直至满足收敛条件，计算效率较低，某些情况下会发生振荡而无法收敛［３］。矩阵方程法是２维卷积方程离散简化为线性矩阵方程求解的方法，通过求解矩阵方程得到驻留时间函数。光学加工中，大口径、微浮雕结构的光学元件（如透镜阵列、相位板等）将带来表面轨迹点数量的增加。特别是微浮雕结构的光学元件，面形结构起伏变化较大，所对应的去除量分布均匀性差；并且要较一般折反射元件加工去除量偏大，存在大量的小空间周期结构，由此对应的面形采样点与轨迹点密度偏大。以上两种情况，将最终导致形成的驻留时间求解问题规模大、病态性强。在保证求解结果收敛性、稳定性的前提下，如何高效率计算大规模数据处理是ＣＣＯＳ技术加工大口径、微浮雕结构的光学元件亟待解决的关键技术之一。为此，本文基于矩阵方程法的思想，针对ＣＣＯＳ应用中非回转对称去除函数形成的驻留时间矩阵方程特征，研究了一种基于稀疏矩阵的大规模驻留时间算法，并采用正则化方法降低方程的病态性，最后运用该算法进行了大口径微浮雕结构面形的仿真加工。

    １　大规模驻留时间矩阵方程模型

　　以工件上某一角点为参考点，建立工件坐标系（Ｘ，Ｙ）。同理，建立非回转对称去除函数坐标系（Ｘ′，Ｙ′），如图１所示。

　　抛光时，工件表面任意一点（ｘ，ｙ）的去除量，相当于抛光模在工件表面作进给，其中心位于工件表面各点（ξ，η）对点（ｘ，ｙ）产生去除量的叠加［４－５］。当抛光模沿着走刀路径（图２）和驻留时间函数扫描完光学元件表面所有的轨迹点后，光学元件表面某点的实际材料去除量为

ｉ＝１式中：Ｎｔ是抛光模驻留光学元件表面的轨迹点总数；Ｒ（ｘｋ－ξｉ，ｙｋ－ηｉ）为抛光模驻留在（ξｉ，ηｉ）处时，抛光模在点（ｘｋ，ｙｋ）处的材料去除量；Ｔ（ξｉ，ηｉ）为抛光模在轨迹点（ξｉ，ηｉ）处的驻留时间。引入符号表示