NIM锶原子钟用准直器的初步计算

　　1　引　言

　　锶原子钟中,原子束准直器的关键技术和工艺就是要求当准直器圆面积已定时,在其表面上加工出最大数量的给定直径的小孔。目前锶原子钟中原子束准直器一般是采用在直径3 mm左右的圆面积上打7~50个直径为200μm的小孔,已有的文献并没有作详细计算和追求取得最佳结果^[1-3] 。本文提出的左靠排列法和居中排列法两种计算方法,可以有效地增加小孔的数量,从而提高原子束准直器的准直性。

　　2　小圆孔的数量计算

　　按等大圆在平面内紧密排列的原则,为保证每个圆和相邻圆紧密接触,就必然形成每个圆周边被6个圆所包围。如图1所示为等大圆紧密排列示意图。

　　排列等大圆时,先沿着某一个圆的水平直径方向排列出一层圆,可以称之为0层,用L ₀表示。然后在该层上方再排列一层圆,并满足每个圆与0层的两个圆相接触,这一层称之为第一层,用L ₁表示。在L ₁层圆排列后,再照此方法排列第二层即L2。如此下去,就可以获得在平面内等大圆的紧密排列。连接A、B、C球的球心得△abc,每条边正好为小圆的直径,用d表示。在B圆与C圆的接触点e ₁做△abc的高得ae ₁=h,且h=d·cos 30°,它的值正好代表层高。

　　对于在一个已知直径D(半径为R)的大圆内尽可能多地紧密排列已知直径d(半径为r)的小圆,我们可以用以下两种方法设计。

　　1)左靠排列法

　　左靠排列即小圆在大圆中排列时,每一层圆尽可能地左靠大圆的左侧弧。根据圆的对称性,在排列小圆时,使其0层的所有圆的圆心连线与大圆的水平直径重合。

　　如图2所示,在大圆中(大圆仅画出一部分)放置第一个小圆时,是在大圆水平直径的最左端,小圆内切大圆的左侧圆弧。然后紧靠第一个小圆在大圆水平直径上放置第二个、第三个、……,直到再不能放置为止。这样在水平直径上放置的L0层小圆的最大数为

　　在 L ₀层完成排列后,放置L ₁层小圆。由图2看出,L ₁层的第一个小圆只能处于L ₀层第一、第二个小圆之间的上方,那么L ₁层第一个小圆与大圆左侧弧不能相切,其距离为y  ₁ z ₁。由y ₁点大圆水平直径的垂线相交于y ₀,并向下延伸到与大圆弧相交的点y-1。再由z1点作大圆水平直径的垂线并交于点z0,得到y1z1=y0z0。且大圆的一个垂直弦y1y-1与大圆构成的弓形x0y1y-1的高度为x0y0,由图2看出y1z1=r-x0y0。

　　在图2的直角三角形y0Oy1中,y0y1=z0z1=h(参见图1),Oy1=R,由此可得

　　连接第L ₁层所有小圆圆心的大圆的弦,记为S ₁。。在上述分析的基础上,就可以按下式求出第L ₁层上紧密排列小圆的最大数值为