利用正交多项式处理静态测量中的时间漂移因素

　　1　引　言

　　测量技术中经常通过多次测量得到一个物理量,其结果中往往包含系统随时间变化引起的漂移量。随着采样和测量技术的发展,现在能够在短时间内获得越来越多的测量数据。如何利用数据处理消除时间漂移带来的测量误差,成为精密测量中关注的问题。多项式容易处理且物理意义清晰,常被用来拟合漂移曲线。一种方法[1]是将随时间漂移的量展开为泰勒级数,取其前几项进行最小二乘拟合,从而将测量结果中不随时间漂移和随时间漂移的部分分别求出。当多项式阶数不高时,这种方法能得到很好的效果。然而三阶以上的最小二乘法方程组往往是病态的,测量数据的微小误差会造成拟合结果的极大误差,本文4.1节通过实例证明了这一点。本文针对这一问题利用正交多项式来拟合时间漂移量模型,避免了病态法方程组的影响,得到更为精确的漂移模型和测量结果。

　　2　数学模型

　　一个随时间漂移的量f(t)可以用n次多项式来表示,当以权函数为ρ(t)的n次正交多项式Pn(t)为基时,这个多项式可表示为：

　　设一个测量过程共进行了N次测量,第i次的测量结果为：

式中,v是不随时间变化的常数项,当以除去时间漂移项后的结果为测量结果时,它就是测量结果的期望值;e(t)表示测量结果中与t有关的部分;εi包括由于忽略掉n以上高次项引起的附加误差和随机误差。根据上式得到除去漂移因素后的测量结果.

　　测量不确定度是衡量一个测量结果好坏的重要指标,在对测量数据的处理中,处理方法对测量不确定度的影响是需要重点考虑的因素。根据JJF1059—1999《测量不确定度的评定与表示》的规定,qi的标准测量不确定度定义为:

　　结合式(2)可发现,当正交多项式的权函数ρ(t)≡1时,平方一致逼近准则(5)等价于测量不确定度,即式(4)最小。所以,本文选择了ρ(t)≡1的一类特殊正交多项式来对测量过程中时间漂移因素进行拟合。求解平方一致逼近问题的法方程组为

进而通过式(2)知道测量结果中的常量、随时间漂移的量和随机误差,更全面地了解测量过程。下面介绍两种方法来得到本文提到的特殊正交多项式(权函数恒等于1)。

　　2. 1　Legendre多项式Legendre多项式的

.

　　2. 2　Gram-Schm idt过程构造正交多项式

　　2. 3　两种方法的主要误差

　　2. 3. 1　Legendre多项式

　　Legendre多项式是一种连续意义下的正交多项式,其内积以积分形式定义。理论上,当采样数据点数无穷多时,积分形式和求和形式的内积等价;数据量有限时,Legendre多项式的正交定义式(10)只是近似等于式(7)。因此用Legendre多项式对离散数据ti按照式(7)求内积后得到的法方程系数矩阵并非严格的对角矩阵。这时式(14)中有一个将法方程系数矩阵近似为对角阵带来的附加误差。计算Legendre多项式的离散内积可以求得该误差,表1给出了法方程矩阵中0~4阶对应误差项的大小。