基于Zernike模式的自适应光学系统随机并行梯度下降算法

　　和常规自适应光学系统相比,无波前探测自适应光学系统[1]不但降低了自适应光学系统结构的复杂性,而且在波前无法探测的应用环境中有着其独特的优势,采用合适的控制算法是该项技术成功实现的关键。从现有国内外文献看,随机并行梯度下降(SPGD)[2-3]算法无论从校正效果还是收敛速度来讲都算是较好的算法[4],但它的收敛速度却仅适用于静态或缓慢变化的像差[3]。我们试图结合自适应光学系统的特点,探索提高SPGD控制算法收敛速度的方法。

　　1　理论分析

　　SPGD算法利用性能指标的变化量δJ与控制参数的变化量δu进行控制参数的梯度估计,在梯度下降方向上进行控制参数的搜索,其中δJ为标量,δu为一多维向量。自适应光学系统中,一般把波前校正器各驱动器所需要的控制信号,即电压向量作为系统的控制参数。第k次迭代时,电压向量u={u1,u2,…,uN}的计算公式为

式中:N为驱动器个数;为第k次迭代时施加的扰动电压向量;δJ(k)为施加扰动电压所产生的性能指标变化量;γ为一小的常量,若朝着指标函数极大方向优化,γ取正值,反之,取负值。本文以变形镜作为波前校正器模型。

　　1.1　控制系统结构优化

　　设φ(r)为初始畸变波前,m(r)为变形镜生成的补偿面形,(r)为残余波前,三者有如下关系:(r)=φ(r)+m(r)。其中,r={x,y}为正交于光轴的平面中的向量;(r),φ(r)和m(r)均为连续函数。为处理残余波前更方便,SPGD控制算法优化的性能指标的表达式为

式中:D为波前校正器的通光口径。

　　由变形镜引入的波前相位扰动δm(r)所带来的指标变化为

　　由电压迭代公式可知,当系统中增益系数γ和电压扰动幅度固定时,δJ的绝对值大小决定了梯度方向前进的尺度,|δJ|越大,指标下降越快。

　　为排除δJ对相位扰动幅度的依赖性,做如下限制:

式中:P为 1的常数。由式(2)~(4)得

　　从式(6)可以看出,〈δJ〉max取决于相关项η=(1/D)∫〈δm(r)(r)〉d2r,即当δm(r)和(r)完全相关时,η可以达到最大值[2]。对于相对低阶的畸变,和Kolmogorov湍流模式有关的相位扰动,使用Zernike多项式分析较为方便,几乎接近最优。如果把变形镜的影响函数也通过某种形式使用Zernike多项式来描述,则由变形镜引入的相位扰动δm(r)和残余相位(r)在一定程度上具有某种相关性。

　　1.2　Zernike多项式和变形镜影响函数关系

　　由Zernike多项式描述的波前,残余相位(r)可以看作是各阶Zernike多项式的线性组合

式中:M为Zernike阶数;ai为第i阶Zernike系数;Zi(x,y)为第i阶Zernike模式。使用变形镜来拟合Zerni-ke多项式描述的波前可得