八节点非协调实体板单元

　　1　引言

　　目前,已有众多板壳单元被构造并应用于工程实践。常见的板单元有广义协调板元、杂交应力板元和退化板元等[1-3]。经典板元的网格剖分仅在中面进行,分析变厚度板时略显繁琐。Hauptmann等[4]构造的实体板壳元无转动自由度且采用实体几何描述,在同实体单元连接和边界条件处理等方面极具优势。该类单元一般基于假设自然应变方法(ANS)和增广假设应变方法(EAS)构造[5,6]。此外,Sze等[7]还基于杂交应力方法和ANS方法构造了实体板壳元。徐兴等[8]和凌道盛[9]分别构造的16节点相对位移板元及三棱柱数值流形板元也具有以上优点。文献[8,9]均通过修改三维弹性本构关系克服单元厚度泊松锁闭,但不能考虑板的法向应力;另外,为确保单元位移模式能模拟挠度在板中面内的变化,单元必须设置边中节点或采用高阶数值流形覆盖,节点自由度较多。

　　非协调元扩大了试探函数的选择空间,通常可获得比协调元更高的精度。为确保非协调元通过分片检验,Taylor等[10]建议计算非协调应变位移矩阵时取单元中心处的雅可比矩阵;Wilson等[11]通过给应变位移矩阵附加修正矩阵,强迫单元通过分片检验;Choi等[12]和陈万吉[13]分别采用直接修正法和精化直接刚度法使单元通过分片检验;Wu等[14]则采用拉格朗日乘子法对单元刚度矩阵进行修正。文献[10-14]本质上与虚参数法[15]相同,均通过修正单元常应变矩阵强迫单元通过分片检验。

　　本文为八节点实体等参元附加非协调位移项,以克服单元厚度泊松锁闭和剪切锁闭,构造了采用完全三维本构关系的非协调实体板元。利用文献[10,15]的方法确保不规则单元通过分片检验,并在文献[15]的基础上推导了显式表达的非协调位移修正项,避免了虚参数法求解待定修正常数时进行的数值积分。与基于ANS和EAS的板元相比,该单元基于一类变分原理构造,由于仅为局部坐标系下的挠度位移分量附加非协调项,单元内部自由度数少于基于EAS的实体板元。

　　非协调位移模式ζ2的附加可从根本上克服弯曲问题中因板厚度方向的线性位移假定导致的厚度泊松锁闭,其余非协调项可在一定程度上缓解薄板剪切自锁(对严重畸形网格不能完全克服)。附加式(4)非协调位移项后,面内任意形状的板元将不满足分片检验条件,需要对非协调位移项进行修正。为确保w~′1通过分片检验,可直接采用Taylor等的方法,在单元中心处计算非协调应变位移矩阵,不再详述。此外,可采用虚参数法对非协调位移项w~′2进行修正。修正后的非协调位移函数可表示为