双线性时间序列模型的参数辨识

　　双线性时间序列模型简记为BL(Bilinear)模型,BL(n,m,p,q)模型由如下的非线性随机差分方程描述

 (1)

　　BL模型的参数辨识方面现已取得不少结果,常用的方法有反复残差法(离线伪线性回归方法)、Newton-Raphson法[1]以及极大似然算法[2]等,但各种参数估计方法的收敛性分析目前还欠深入。

　　本文给出BL模型参数估计的递推预报算法,并应用ODE方法[3]的思想分析BL模型的m-可逆性对递推预报误差算法收敛性的影响。

　　1　双线性时间序列模型参数的递推预报误差估计

　　考虑式(1)所示的BL(n,m,p,q)模型,对于一组给定的模型参数

 (4)

若给定初值a∧-i,i=1,…,max(m,q),观测序列{yt}及模型参数向量Θ,则由式(4)可以递推得到一步预报误差序列,记为{a∧t(Θ)},令

则=arg minΘVN(Θ)称为N次观测下模型参数的预报误差估计,其中arg minΘVN(Θ)为问题minΘVN(Θ)的最优解。下面给出预报误差估计的递推算法。

　　记

　　将上式中的ΔN代以(12)式,并整理得

将式(3),(4),(17),(18),(21)联列,并对式(18)应用矩阵求逆公式,得到如下的BL(n,m,p,q)模型参数递推预报误差估计算法

　　若以ΦN作为一步预报误差a∧N+1(Θ)的近似负梯度向量,即将式(22d～e)中的Ψ∧N代之以ΦN,则式(22)所示的算法退化成为递推伪线性回归方法,亦即反复残差法的在线算法。对实际序列进行BL模型拟合时,模型定阶可采用AIC准则。

　　2　双线性时序模型的m-可逆性及其对参数估计算法收敛性的影响

　　对于如下形式的时间序列模型

　　对于任意的初始值成立,则称模型(23)为m-可逆的。定义模型的m-可逆域为

　　由m-可逆性的定义可知,线性时间序列模型的m-可逆性条件只决定于模型的结构参数,如ARMA模型的m-可逆性只决定于模型的MA参数。但双线性模型的m-可逆性除依赖于模型参数外,还依赖于观测序列的统计特性。以如下的BL(0,0,1,1)模型为例

其中激励白噪声序列服从零均值正态分布。对于方差不同的白噪声序列{at},由模型(27)生成的序列{yt}的统计特性也不相同,模型的m-可逆性条件除依赖于模型参数λ外,还依赖于激励白噪声序列的方差。文[6]证明了上述BL(0,0,1,1)模型m-可逆性的充分条件为

　　下面分析BL模型的m-可逆性对预报误差估计算法收敛性的影响,这里只作定性的讨论,详细的理论证明需借助伴随微分方程稳定性分析方法—ODE(Ordinary DeferentialEquation)方法,有关内容可参阅[3-5]。

　　对于具有m-可逆性的时间序列模型,在t充分大的条件下,由模型和观测序列可递推得到白噪声序列{at}的一致估计。双线性时间序列模型对于模型参数是线性的,若能得到白噪声序列的一致估计,则采用线性回归方法就可以估计模型参数向量,因此直观上模型的m-可逆性对模型参数估计方法的收敛性有直接影响。理论上可以证明[5],对于递推预报误差算法,在模型的m-可逆域Dm以外的区域,算法的伴随微分方程[3,5]是不稳定的,因此在Dm以外的区域,递推预报误差方法没有收敛点。