基于正交多项式旋转梁分布动载荷时域识别

　　0 引 言

　　不少梁形构件在发生弯曲变形的同时还承受轴向力的作用,例如:一些旋转梁机构在旋转状态下受到离心力的作用而产生轴向拉力[1]。因此,旋转梁的总刚度除了含有弯曲刚度的成分外,还包含由于离心拉力对弯曲振动的影响所附加的几何刚度。

　　确定系统在实际工况下的振源及其数学描述是振动工程中比较重要的问题,对故障诊断和动力学设计有着重大的意义。在实际的工程中,人们无法直接测量加载在旋转弹性梁上的动载荷或测量的难度很大,这时候载荷识别作为一种间接获取激励力的方法给人们提供了极大的便利。

　　目前的动载荷识别方法主要分为频域法和时域法两大类。频域法发展较早,其基本思想是由响应谱识别激励谱。频域法主要有频响函数求逆法、模态坐标变换法、逆虚拟激励法[2~4]等,都有一定效果。相对而言,时域法发展较晚[5~7],是直接根据结构的响应历程来识别载荷的时间历程。

　　目前针对旋转梁结构的分布动载荷识别技术研究在动力学领域几乎还处于空白。本文引入二维广义正交多项式理论[8],给出旋转弹性梁振动微分方程和有限元形式,并利用二维分布动载时域识别技术对旋转弹性梁分布载荷进行识别。最后,对其识别公式进行了算例验证。

　　1 二维正交多项式理论

　　正交多项式序列是一种特殊的函数序列,广泛应用于数据回归处理。任何平方可积的函数都可以用正交多项式序列的和去逼近。本文构造了一种正交函数基,用来拟合二维函数。在动载荷识别中,有2个未知量的分布载荷函数可以用二维正交多项式基函数序列去拟合,形式如下

　　其中,Ri(x)(i=1,2,,p)和Rj(y)(j=1,2,, q)分别是以x和y为自变量在区间[0,a]和[0, b]上的切比雪夫正交多项式序列

　　对比Ri(x),同理可得Rj(y)的表达式。a_ij二维正交多项式的系数,p和q的值由所要求的识别精度确定,令

　　上述表明:二维多项式函数Rjk(x, y)序列构成了L2(RxR)空间下的广义正交基函数序列。任意平方可积函数f(x,y)都可展开成如公式(5)所示Rik(x, y)的级数形式。

　　2 旋转弹性梁振动微分方程与有限元分析

　　旋转梁的动力学特性受很多因素的影响,例如:轴向离心力、整体机构运动和局部弹性变形的耦合、剪切变形、截面绕中性轴的转动惯量等。如果各种因素都考虑到,动响应的求解和动载荷识别会变得很复杂。为了简化载荷识别的动态标定过程,本文只考虑旋转梁受轴向离心力的影响。受到轴向力T(x)为作用的均匀材料等截面直梁,如图1所示,其受迫振动方程为