弹性基础梁的两变量广义变分原理

　　弹性基础梁是工程中常见的受力构件,其基本方程是由微分-积分方程组成的。由于存在积分方程,对应于这类问题的变分原理尚不多见。本文利用拉氏乘子法导出一个以挠度w及地基反力p为两个自变量的广义变分原理,其泛函驻值就等价于梁的一组由微分-积分方程组成的基本方程及边界条件。

　　基础梁的基本方程及边界条件(不失一般性,仅考虑自由边界)如下:

　　在边界上:

　　式中:p为地基反力,k为地基在ξ点作用垂直集中力时,在x点产生的沉陷函数。

　　先给出自变量为w,p的基础梁的最小势能原理的泛函:

　　式中的p和w必须满足变分约束条件:

　　由式(5)求出∏w的变分,经过一定的运算并整理归项后,可得:

　　如果利用

　　则式(6)即成为:

　　现在来证明式(7)。为此,将满足变分约束条件式(2)的w代入式(7)右端得:

　　又因为定积分和变量无关,上式可改写为:

　　沉陷函数k有互等关系k(x,ξ)=k(ξ,x),则上式可变换为:

　　交换积分次序以后,可得:

　　再将式(2)的变分δw(x)=∫l0δp(ξ)k(x,ξ)dξ代入上式,可得:

　　由于δw的任意性,式(8)等价于:

　　其中,p和w必须满足方程(2)。进一步还可证明,上述的驻值仍是势能极小值。有了上面的结果,就可以按文献[1]的办法,导出待定变量为w和p的两变量广义变分原理,其泛函可取为:

　　其中,λ(x)为待定的拉氏乘子。对上式取变分:

　　其中δ∏w如式(6)所示。考察上式右边第四项,仿照式(7)的证明,

　　将式(12)代入式(11)并利用式(6)后,得:

　　由于δp、δw、δλ是任意且相互独立的,因此δ∏wp=0就等价于:

　　比较式(15)和式(16),对任意x值,均有下式成立:

　　于是得出:

　　将式(18)代入式(10),得:

　　或写成:

　　上式就是待定变量为w、p的基础梁的泛函,其驻值等价于式(1)-式(4)。

　　参考文献

　　[1]　钱伟长.变分法及有限元[M].科学出版社,1980.

　　[2]　胡海昌.弹性力学中的变分原理及其应用[M].科学出版社,1981.

　　本文作者：郭应征