圆形截面微型扭杆刚度的解析计算

　　在工程领域，常会利用杆件的弹性扭转用来储能、柔性支承或者力矩的调谐。比如，车辆悬架中的扭杆可减少车架的振动，提高行驶稳定性，改善行驶平顺性[1―5];微机电系统(MEMS)中作为柔性支承，取代体积较大的轴承[6―10];惯性导航用动力调谐陀螺仪中的扭杆在飞行器方位改变时，产生正弹性力矩作用在转子上，与平衡环的扭摆运动产生的负弹性力矩进行相互调谐，使陀螺转子的空间指向保持恒定[11―12]。扭杆的形状有多种，其中等直截面圆杆(即圆轴)因其易加工性得到广泛应用。

　　在力学上，圆轴扭转问题是个基本问题，运用材料力学的分析方法即可解决。然而在工程中，由于加工的工艺性问题及避免应力集中，扭杆的端部常有几何圆角，见图1。对于悬架中的扭杆，因圆角尺寸相对较小，在计算扭转刚度时常忽略不计。但是对于陀螺仪中的微型扭杆，由于圆角相对尺寸较大，且扭杆属于关键的精密元件，其刚度系数是重要的力学指标参数，几何圆角的影响变得非常重要。

　　然而目前在微型扭杆的设计中，仍然采用圆轴的扭转理论指导设计，忽略圆角的影响或者以当量长度来取代圆角，以确定扭杆的各几何参数，最终以实际测试的结果进行检验以筛选出合乎要求的元件，以弥补设计理论的不足。尽管这种做法也能保证工程上的应用，但是由于没有精确的解析计算公式作为设计依据，更改设计时缺乏方向，而且效率低下。本文根据材料力学的基本理论，建立此类扭转问题的刚度计算公式，并探讨圆角对于刚度系数的影响，对工程中扭杆的设计提供精确可靠的依据。

　　1 计算公式

　　1.1 带有90°圆角公式的推导

　　以扭杆的回转中心轴线为横轴，以扭杆半径方向为纵轴，建立如图2 的直角坐标系。假设几何圆角为90°，半径记作 r，扭杆主要工作段半径为R，长度为L，总长为L+2r。

　　如果不考虑圆角的影响，按照圆形截面柱体扭转的力学理论，扭转刚度 K 为：

式中：T 为所受纯扭矩载荷;? 为扭杆自由端相应的转角;G 为材料的剪切模量;µ 为材料泊松比;E 为材料的弹性模量;Ip为极惯性矩。

　　考虑圆角的影响，在扭杆的两端几何圆角处，为变截面扭转。在扭杆沿长度方向任取微段 ?l ，当?l 较小时，可认为是等截面扭转，则有：

式中：?φ为微段?l 在扭矩载荷T 作用下相应的转角;I_p^?为微段?l 的极惯性矩。则扭杆的总转角 ? (l )可由积分得到：

式中：  l p（l）为扭杆工作段长度l 的函数，它沿长度方向随截面半径R (l )变化而变化，即 lp( I ) =πR⁴ (l ) / 2，采用分段积分法，将两端带有几何圆角段的半径按照图2 的坐标系以角度表示，则式(3)转化为：