周边固定的三角形板的弯曲

　　O引言

　　在工程技术中，周边固定的板在垂直于板面的荷重作用下的弯曲问题具有重要的实际意义。对复杂边界条件下三角形板的精确解则因数学困难而较少研究。文献〔l]应用源象法和叠加原理，研究了简支等边三角形板和简支等腰直角三角形板的弯曲问题。应用功的互等定理研究在三边固定三角形板上任意一点作用一集中载荷的弯曲问题，给出了该问题的精确解。

　　1集中载荷作用下三边固定三角形板的挠曲面方程

　　为计算三角形板的弯曲，取在一流动坐标点处有一单位集中力作用的四边简支矩形板的一半为基本系统，如图1所示;而取三边固定在任意一点(x.o，yo)处有一集中载荷尸作用的同一直角三角形板为实际系统，如图2所示。

　　对于实际系统，解除三个固定边的弯曲约束并代以分布弯矩，得到图3所示的三角形板。假设沿板的三个边的分布弯矩分别为

　　又设该板斜边的等效切力方程为

　　在图1所示基本系统与图3所示实际系统之间应用功的互等定理，则可得到作为实际系统的三角形板的挠曲面方程为

　　式中为基本系统(x0，yo))点的挠度，尸为实际系统在(x0，yo)处受的集中载荷。于是得到

　　由文献[3]中式(l)、(2)、(3)、(4)和上面式(3)、(4)，可分别得

　　2边界条件

　　挠曲面方程(6)必须满足下述边界条件

　　为了满足这些边界条件，必须做一系列相应的计算，并且将一部分相应量表达式的双曲线函数展成三角级数。经整理，最后得到

　　关于三角形板斜边挠度为零和转角为零的边界条件式(18)、(19)为文献[3]中式(22)和式(23)，并且其中

　　至此，得到一无穷线性联立方程组(16)一(19)。据这些方程，能够计算出系数进而能够分别算出挠度、内矩分量、内力分量和内应力分量。对于给定的具体问题，作用于三角形板上的集中载荷P的作用点(x.o，yo)是己知的，因而问题是可解的。

　　3结论

　　本文应用功的互等定理研究了在一集中载荷作用下三边固定的三角形板的弯曲问题。由于本文以已被求解的受单位集中载荷的简支矩形板的一半为一基本系统，因而计算过程比较简单。本法还可用于求解在复杂载荷作用下具有复杂边界条件的三角形板的弯曲问题。它是求解弹性薄板的一种有效方法。

　　参考文献

　　1.Timoshenko5.etalTheoryofPlatesandshells.MCGRAW一HILLBookComPanyIne.，NewYOrk，1959