任意支承梁的差分离散系统及其刚度矩阵的振荡性

　　引　　言

　　考虑长为l、线密度为ρ(x)、截面抗弯刚度为S(x) = E(x)J(x)的Euler梁,其自由无阻尼横振动的模态方程是

　　鉴于构造梁的离散模型进而证明其刚度矩阵的振荡性在研究梁的振动的定性性质以及振动的反问题等方面的重要性,Gantmakher和Krein在专著^[1]中建立了一套复杂的振荡矩阵和振荡核的理论,成为研究杆、梁振动的频率和模态的定性性质的基础·　Gladwell发展了杆、梁振动的定性性质的工作^[2,3]·　他在专著[2]中给出了一个Euler梁的物理离散模型,并论证了正系统的问题·　何北昌和本文作者也曾研究梁振动的差分离散模型以及梁的模态的定性性质^[4,5]·但上述离散模型都只处理了特殊边界支承,因而还不是完善的·　而关于正系统的讨论遗漏了一些重要的情形·　为此,本文首先利用二阶中心差分公式建立与方程(1)相应的在最一般的边界条件下的差分离散系统,导出对应的物理离散系统,然后利用振荡矩阵理论证明这种系统的刚度矩阵的符号振荡性,同时导出上述差分离散系统为正系统的充分必要条件,完整地处理了正系统·

　　1　差分离散系统

　　利用函数f(x)的如下泰勒展开式

　　此外还须考虑与边界点有关的方程,这时差分公式(6)并不完全适用,而需结合边界条件逐一加以讨论·　我们首先考察左端的情况,由边条件(3)和(4)式有

　　这里,Φ0= M′0=[S(x)u″(x)]′x=0=-h1u0,-β1=2s0/β1·　显然只要令h1=0,β1=0,则(8)式和(9)式对自由端成立;令h1=0,β1→∞,则(8)式和(9)式对滑支端成立·　至于固支端或铰支端,由于u0=0,相应于m0的运动方程成为平衡方程,其具体形式无关紧要,故不妨认为(8)式同样适用;而对与m1相应的运动方程,由于对固定端有u′0=0,对铰支端有s0u″0=0,这样只要在(9)式中分别令u0=0,β1→∞或u0=0,β1=0,(9)式也就适用于固支端和铰支端·　总之,只要与适当的边条件相配合,(8)式和(9)式就是任意支承梁的边界点处振动微分方程的差分形式·　至于梁的右端,完全类似的可以写出

　　此处Φn+1= h2un,-β2=2sn/β2·　(7)式~ (11)式就是梁的横振动的差分方程组·　若记λ=ω2并引入变换

　　为了便于应用振荡矩阵的理论,把方程组(13)~(17)改写为矩阵形式·　仿照(2)式可以定义

　　这样定义的τr正好是弯矩在相应分点处的差分量,但θr和r(r=1,…,n)则分别是连接mr-1和mr的刚杆的转角和剪力的相应差分量的一级近似值·　又θ0和θn+1是梁的左、右两侧端部杆的转角·　利用这些定义,方程组(13)~(17)可以简单地表示为