环形流道的热声学特性分析

    1 介绍

    热声系统由于无运动部件、高效、环保等优点而成为近年来的研究热点。对热声现象的定量描述在上世纪的60年代就已经展开,瑞士苏黎世联邦技术研究所的N.Rott等人提出了热声振荡的定量理论,奠定了线性热声理论的基础[1]。1988年,美国LosAlamos国家实验室的Swift等人[2]发展了Rott的理论,推导了完整的热声学动态方程组,包括对多种通道(除了环行流道)的描述。

    随着热声技术的发展,开发同轴型系统是一个重要的趋势,它能有效减小系统的尺寸,避免热应力等。目前,对环形流道的热声学阻抗特性的分析较少。美国俄亥俄大学的W ilen[3]等曾针对多孔介质中的同轴孔的热声特性做过实验测量和理论分析,但缺乏完整的推导过程,同时该尺寸与我们讨论的同轴尺寸有较大的差别。本文从最基本的线性热声方程组出发,结合合适的边界条件,详细推导了环形流道的横向分布函数表达式;并比较了相同截面积的圆管与环形流道的阻抗特性。

    2 理论推导

    图1是环形流道的示意图。文章讨论的即是管中r₁、r₂之间环形流道的热声学特性。方程(1)至方程(4)给出了二维对称流道中单纯流体的完整的线性热声学扰动场方程组[4-5]。其中(1)是连续性方程; (2)是动量方程; (4)是温度方程。X是指波的传播方向坐标,在本文中为轴向; n是横向坐标,文中即为径向。方程(3)是基于平面简谐声波的假设,即认为波动压力在整个截面上分布均匀。这个简谐声波的声场变量的复指数表达形式在式(5)至式(7)中给出。针对本文所讨论的环形流道情形,相应的边界条件在式(8)中给出。

    首先求解方程(2),利用简谐声波的条件,我们将其整理为式(9)所示的形式:

    横向的二阶导数被化为柱坐标下的表达式。这是一个非齐次的常微分方程,它的一般解应该是一个特解加上对应的齐次方程的一般解所构成。我们令是粘性穿透深度。方程的特解为:做变量替换,令z=Kr,于是齐次方程便化为了标准形式的零阶贝塞尔方程。方程(9)的一般解为:

    J0和N0分别是零阶贝塞尔和诺依曼函数。代入边界条件(8),我们可以得到u的表达式:

    对上式进行截面积分就能得到体积流率,利用贝塞尔和诺依曼函数的积分关系我们可以得到:

    对比圆管的表达式,我们可以得到环形流道的横向分布函数:

    在得到dP^/dx与U^的关系式后,我们接着去求解dU^/dx与P^的关系式。将得到的u^的表达式(即流速而非体积流率U^)代入方程(4),并设:

    即:,同时我们令是热穿透深度,这样我们就能得到经整理后方程(4)在柱坐标下的表达式: