弹性地基上加热弹性圆板的热过屈曲及临界屈曲模态跃迁

　　由于现代工程中许多以弹性板(壳)构件为承载部件的结构被越来越多地用于高速和高温环境中。例如，运载火箭及可回收空间运载工具(主要由板、壳 构件组成)、核反应堆安全衬套、空间太阳能帆板、刚性路面等实际工程结构中都可以抽象出板(壳)构件的热弹性稳定性问题。因此，板(壳)构件的热屈曲以及 热振动已成为近代结构力学的重要研究内容之一[1~3]。关于弹性圆(环)板在温度载荷作用下的热屈曲问题已有不少文献报道[3~6]。Raju 和 Rao[4]采用有限元法分析了均匀加热各向同性弹性圆(环)板的热过屈曲问题。基于更加精确的几何非线性方程，本文作者采用打靶法数值求解了弹性圆板的 过屈曲大变形问题，给出了比文[3]更大变形范围内圆(环)板的热过屈曲平衡路径[5]。在文[6]中又将打靶法应用正交各项异性圆板的大振幅振动问题求 解，分析了均匀升温对周边面内不可移圆板的线性和非线性固有频率的影响。关于弹性地基上的圆板在机械载荷作用下的屈曲和振动问题的研究可见文献 [7~10]。杨骁[7]等研究了线性弹性基础上环板周边界受均匀径向压力作用下的屈曲和过屈曲。Gupta 等[8]采用 Galerkin 法研究了弹性基础上变厚度正交各向异性圆板的临界屈曲和线性振动问题。采用与文[7]和文[8]同样的近似方法，Dumir[9]分析了弹性地基上各向同 性圆板在周边面内均布压力作用下的非线性振动和过屈曲响应，分别考虑了Winkler，非线性以及 Pasternak 地基参数对屈曲载荷和振动频率的影响。

　　文献调查结果表明，已有的研究工作中缺少有关于弹性地基刚度参数变化对圆板在热载荷作用下临界屈曲模态的影响研究报道。本文将基于薄板的经典理 论，采用打靶法[11]研究 Winkler 弹性基础上周边不可移简支圆板的在均匀升温下的热屈曲和热过屈曲响应，重点讨论由于地基刚度参数逐渐增加而出现的临界屈曲模态跃迁现象[12,13]，给 出相应的跃迁地基刚度参数值，并分析地基刚度对过屈曲平衡构形和平衡路径的影响。

　　1 控制方程

　　考虑一个弹性基础上的各向同性弹性圆板,半径为b，厚度为h，弹性模量为 E ，泊松比为μ ，线性热膨胀系数为α ，线性 Winkler 弹性基础参数为k 。设板的周边面内位移被完全限制，此时板在自然状态下受到均匀升温 T 作用。分析弹性圆板的轴对称热屈曲问题，依据板的 von Kármán 几何非线性理论可以导出位移形式的无量纲控制方程[5,6]:

　　其中：

　　考虑周边为不可移简支，则相应的无量纲边界条件为：

　　由变形的对称性以及物理量在板中心处的连续性条件可得补充条件：