基于矩形卷积窗的声频测量系统谐波分析方法

    1 引言

    利用声频测量系统[1]获得某一待测装置的谐波失真，首先使用正弦稳态信号激励该系统，然后对其响应信号进行谐波分析，通过对分析结果的进一步处理，可以计算出各种类型的谐波失真。 为了保证谐波失真的测量精度，选用高精度的谐波分析方法是重要的前提。

    由于对采集到的时域响应信号进行离散化并截取其有限长度， 不可避免地存在由于时域截断产生的能量泄漏。为了减少频谱能量泄漏，可采用不同的窗函数对应信号进行截断。 能量泄漏与窗函数频谱的旁瓣密切相关，如果使旁瓣的高度趋于 0，使能量相对集中在主瓣，就可以得到较为接近真实信号的频谱。 为此，常在时域内采用不同的窗函数来截断响应信号， 以减小泄露。 减小频谱泄露是声频测量系统中高精度谐波分析的前提条件。

    在声频测量系统中， 减小频谱泄露的根本途径就是选择合适的窗函数。 将矩形卷积窗与多种常用的经典窗函数进行比较，结果表明：与具有相同宽度[2]的其他窗函数相比，当采样同步误差较小时，矩形卷积窗的主瓣最窄，旁瓣衰减速率最大，具有更小的频谱泄漏效应，而且在声频测量系统中，测量频率在较大范围内变化时，测量精度也极高、算法简单，因此特别适合于声频测量系统的高精度谐波分析。

    2 卷积窗

    2.1 矩形窗

    宽度为 T0（可取为信号周期的额定值或初估值）的矩形窗表示为

    其傅里叶变换[3]为

    2.2 p阶卷积窗

    p 阶矩形卷积窗 wp（t）定义为宽度为 T0的矩形窗的 p 重卷积（T0可以取为所要分析的信号周期粗估值）为

    根据傅里叶卷积定理，其相应的傅里叶变换[4]为

    由以上公式可知矩形卷积窗的频域分布特点是在整数频率点[5]附近旁瓣[6]快速趋于 0，而且随着矩形卷积窗阶数 p 的增加，旁瓣的衰减速率增大。

    从图 1 中可以明显看到，4 阶矩形卷积窗的旁瓣衰减速率[7]明显优于 3 阶矩形卷积窗的旁瓣衰减速率。

    3 卷积窗与其他著名窗函数的比较

    图 2 中，将 4 阶矩形卷积窗与多种常用的经典窗函数进行比较可以明显看出： 对响应信号加窗之后，主瓣更尖锐旁瓣[6]更低，随着卷积窗阶数的增加，旁瓣的衰减速率明显优于其他余弦窗函数，而且与具有相同宽度的其他窗函数相比，当采样[8]同步误差较小时，矩形卷积窗具有最小的频谱泄漏效应。 矩形卷积窗的优势显而易见。 综合考虑可知，矩形卷积窗更适合音频测量系统的高精度[9]谐波分析。