附加集中质量矩形板的强迫振动分析

    在航空、航海、建筑及机械等工程实际中，经常遇到在板的内部或边界的局部附加集中质量的情况，这些结构的振动及其引起的声辐射会对周围正常的生产活动产生较大的影响，因此对这些结构的振动特性进行研究是很重要的。Kopmaz O，TelliS［1］采用离散化分析方法求解了附加均布质量矩形板的特征频率，并分析了均布质量的不同分布位置、分布面积及分布密度对矩形板基频的影响。对于混合边界条件的附加集中质量均质矩形板，BoayC G［2］利用里兹方法对其进行了自由振动分析，并给出了不同位置的集中质量对板基频的影响。通过采用改进后的理论分析与数值结合( Modified AN-CM) 的方法，Wu J S 和 LuoSS［3］求得了附加任意数量的集中质量的矩形板的固有频率及相应的模态振型。韩广才［4］等通过建立了可用于任何类型载荷的有集中质量薄板的力学模型，分析了矩形薄板的特征值及振型，给出了薄板振动响应的计算公式。Soedel W［5］通过将施加在板上的附加条件作为板的边界来处理，获得了附加集中质量板的频率方程及模态振型，在此基础上，本文结合无附加集中质量板的振动特性，求得了附加集中质量板的振动响应，并分析了附加集中质量对板的振动响应的影响，同时考察了在不同的激励方式下，平板强迫振动响应的差异。

    1 附加集中质量矩形板的理论分析

    对于一块体密度为 ρ、厚为 h、弹性模量为 E、泊松经为 υ 的矩形平板，若取其中对边( x = 0，x = a)为简支，其余对边为其他边界条件，在其内部位于( x0，y0质量当作为一边界条件来处理，可在板上由( x0，y0)点作一垂直 y 轴的直线 y = y0，将板分成两块，0≤y≤y0及 y0≤y≤b，如下图 1 所示，这两块板仍具有一对边简支的边界条件，只是在板交界处具有一个附加质量 M，若板的另外两条边 y = 0，y = b 也为简支，则根据 Soedel W［5］可得到此时板的振动模态。

    其频率方程为:

    式( 2) 中，为板的弯曲刚度。

    由于附加质量位于四边简支板的中心，因此对于原四边简支板 x 或 y 方向为偶数半波数( m，n =2，4，6…) 的频率将没有影响。因此，附加集中质量的简支板的偶数半波频率及振型与对应的无附加质量简支板的偶数半波的频率及振型是相同的，式( 2) 所求的振型为 x 或 y 方向均为对称的振型( m，n = 1，3，5…) 。

    对式( 1) 所求的模态频率及振型，取如下参数对板的固有频率及振型进行仿真计算: 四边简支方板边长 a = 1m，厚度 h = 5 mm，材料为钢，密度ρ = 7 800 kg /m3，弹性模量 E = 2． 1 × 1011Pa，泊松比 υ =0． 33，附加集中质量 M 为板质量的一半，则依据频率方程式( 1) 所求得的附加集中质量板的固有频率，并与用 ansys 软件计算的结果进行对比，如图 2 所示。由图 2 可见，所求得的频率与用ansys 计算出的频率基本一致，只是在高频时，会有少许差别。