圆锥体上截取二次曲线的误差分析

　　0 引言

　　目前,非球面的加工与检测比球面困难得多,使得光学系统中非球面零件无法得到广泛的应用。国内外研究和发表的非球面加工方法已有几十种[1-7],文献[8]提出了一种轨迹成形法非球面光学零件加工技术,即利用截取圆锥体加工二次非球面的方法。利用在圆锥体上截取得到的二次曲线加工二次非球面光学零件时,截取二次曲线的相关变量的误差将直接影响二次曲线轨迹的准确性,因此,截取曲线的相关变量的数值必须控制在非球面面形精度所允许的范围内。为此,分析截取变量的变化对二次曲线的离心率e和曲线参数P的影响情况,即可确定轨迹准确度的变化范围,最终确定截取变量的调整范围。

　　1 轨迹成形法加工原理的数学模型

　　1.1 二次曲线的截取方法

　　所有二次曲线均可在一个圆锥体上截得,这是早已公知的数学知识。即一个平面与一个圆锥面相截,截取位置不同,可以得到圆、椭圆、双曲线、抛物线,所以二次曲线也称为圆锥曲线,其具体截取方法如图1所示。

　　由图1可知,在半顶角为α的圆锥体上,从顶点A沿圆锥体的母线取AD长为L的点D,过点D的平面与圆锥体轴线成θ角,平面与圆锥体相交,截出的轨迹均为二次曲线。若平面a-a,b-b,c-c和d-d分别以θ1,θ2,θ3,θ4的角度与圆锥体相切,则当θ1=90°时截得圆;当90°>θ2>α时截得椭圆;当θ3=α时截得抛物线;当θ4<α时截得双曲线。

　　由光学设计给定一个二次曲线方程y²=2px - (1-e²)x²,e为二次曲线离心率,为曲线参数,那么必定有一组α(圆锥半顶角)、L(从圆锥顶点到截点D的距离)和θ(截平面与圆锥轴线夹角)与其对应。通过多种数学方法均可推导出能够精确计算α,L和θ值的数学公式。求得α,L和θ值,这样就可以截得给定的二次曲线。

　　截得准确的二次曲线轨迹后,通过轨迹成形法加工机床把准确的轨迹精确地转移到工件上去就可以加工出二次非球面光学零件。

　　1.2 二次曲线的截取公式

　　从实际工艺考虑,圆锥体是预先加工好的,因此,圆锥半顶角α是一个常值,不作为变量考虑。这样只需要推导出变量L和θ与离心率e、曲线参数P的关系式即可。具体推导过程由于篇幅限制省略,推导结果为

　　由此可知二次曲线的离心率e和曲线参数1为

　　对式(3)和式(4)进行全微分可得

　　式(5)和式(6)表示截取变量的变化对二次曲线的离心率e和曲线参数1的影响。