支撑面积对薄镜面形影响的研究

　　0 引言

　　随着空间光学系统和高功率激光系统向大口径方向发展[1]，系统主要光学元件的口径不断增大， 这极大地影响了整个光学系统的质量和体积，以及工程的成本。因此，通过减小元件厚度，使用薄型和超薄型光学元件来改善系统结构成为目前光学系统设计的主要方式[2]。但随着光学元件厚度的降低，直径厚度比的增大， 元件面形在使用过程中非常容易受到外界因素的影响(如重力作用、机械振动)，导致光束质量的恶化，其中，镜面的自身质量和支撑结构产生的镜面变形尤为突出。考虑到镜面支撑结构中轴向支撑比径向支撑对镜面变形的作用更大，因此，必须设计一套合理的支撑结构来尽可能地降低镜面自重产生的变形，从而获得较好的表面面形。另外，由于天文望远镜主镜与高功率激光系统中的大口径反射镜在应用上的不同，它们对不同空间频率范围的面形畸变控制要求不一样[3]，因此，在设计支撑结构时，还必须考虑镜面变形的空间频率特性。基于此，利用有限元法对薄型镜面变形情况进行分析，然后通过设计不同的支撑单元面积，分析元件面形变化， 最后分别从空间域与频率域上分析了支撑单元大小对镜面形状的影响。

　　1 基本理论

　　由于可以将各种晶体或玻璃材料生产的光学元件看作弹性体，这样在分析其变形过程时，可以利用弹性力学中的薄板弯曲小挠度方程荦2荦2 w=q/D 进行求解[4]。而该方程只有在环带支撑情况下才具有解析解，对目前广泛使用的多点支撑方案得不到解析结果，所以文中选择有限元法来求解。

　　有限元法的基本思想是将连续体划分为有限个在节点处连接的小单元，然后利用在各单元内假设的近似函数来分片逼近全求解域上的未知场函数。文中将二维圆板离散成若干个矩形单元，每一单元的模型如图1 所示。图中矩形单元两边长分别为2a和2b，有4 个节点(i、j、m、p)，每个节点有3 个自由度( 沿z 轴方向的挠度w、绕x 轴的转角θ x 、绕y 轴的转角θy )。由于只受到沿z 轴方向重力的作用，利用最小位能原理建立有限元方程Ke ae =Pe [5]，将矩形板单元中节点的位移表示成单位刚度矩阵与等效节点载荷的乘积，矩阵ae =(Ke )-1 Pe 表示为：

　　公式(1) 中单元刚度矩阵Ke 是对称矩阵(右上角省略)，等效刚度矩阵Pe 中Zi 、Mxi和Myi分别为节点沿z向的力和绕x、y 轴的力偶，其中[6]：

　　在自重作用下，等效节点载荷可以表示为[6]：

　　式中：E 为弹性模量;t 为矩形单元厚度;μ 为泊松比;ρ 为单元单位厚度的质量，即载荷。因此，将公式(2)带入公式(1)，再加上固支边界条件，就可得到矩形单元节点的位移，然后推广到整个模型，得到模型的挠度w，就可以计算模型各点的应力、P蛳V 和RMS 值等，为研究面形的变化做准备。