激光多普勒测速频率估计的Cramér-Rao下限

　　1　前言

　　激光多普勒测速(LDA),由于其具有准确度高、干扰小等特点,已成为当今流速测量的一种常用的方法。LDA测量的实际是流体中随流体一起流动的、某些自然或人为加入的具有示踪作用的微粒(如尘埃)的速度。实际中常见的LDA由一束激光经分光器分成两束激光,然后在被测流体内某一感兴趣的部位相交干涉,形成测量区。两束激光光轴的夹角平分线被设置成与流体的速度方向相垂直,因此测量区内等间距排列的明暗相间的干涉条纹截面垂直于待测流速方向。由于每束激光横截面光强分布符合二维高斯分布,条纹系统的光强分布近似为椭球形三维高斯分布。其中位于相应高斯分布±1σ~±2σ之间的干涉条纹截面较亮,这样的条纹截面通常有数十至数百个。当一个微粒依次穿过测量区内各干涉条纹截面时,明暗周期变化的反射光或散射光在接收器上生成相应的电流脉动信号。与较亮的条纹截面数相对应,脉动信号含有几十至几百个周期的正弦波。与条纹系统光强的高斯分布相对应,这些正弦波具有中间高、两边低的高斯形包络。

　　这一脉动信号是LDA所特有的,可称之为LDA脉动信号(Burst)。LDA脉动信号中正弦波的频率即为微粒运动的多普勒频率fD。当干涉条纹的间距已知时,多普勒频率是微粒穿越测量条纹区的速度亦即流体速度的直接度量。激光多普勒测速的重要任务之一就是从LDA脉动信号中估计出微粒的多普勒频率。与其它测量一样,LDA脉动信号总含有一定的噪声,无论采用何种方法,估计得到的多普勒频率都具有一定的方差。为了对激光多普勒测速的准确度进行判断,人们常使用数理统计中的Cramér-Rao下限。Cramér-Rao下限与具体的估计算法无关,它给出的是对给定测量数据而言最有效的无偏估计的方差。具体到这里,是给出对给定的LDA脉动信号来说多普勒频率最有效的无偏估计的方差。任何实际的估计算法如最小二乘法(LS)或最大似然法(ML)等如果得到的结果是无偏的,那么其方差最多只会逼近、但不可能小于相应的Cramér-Rao下限。

　　因为Cramér-Rao下限具有指示最佳性能极限的作用,对LDA仪器开发或测量实践都是极其重要的:根据与Cramér-Rao下限的距离可以判定仪器或测量的优劣,明确改善的可能性的大小。事实上,Cramér-Rao下限不仅仅存在于LDA中,也存在于需要从带有噪声的测量中估计出参数或测量结果的所有测量实践中。由于LDA脉动信号形式上的复杂性,长期以来人们并没有找到确切的Cramér-Rao下限。LDA工作者至今一直使用着Rife等人于1975年得出的原本仅适用于单一频率谐波信号频率估计的结论[1]。由于LDA脉动信号与纯频正弦信号之间存在明显的差异,使用Rife的结论仅仅是一种近似,是迫不得已而为之。