Stewart平台对大型射电望远镜反作用力的研究

　　世界上最大的反射面口径为500 m的射电望远镜(FAST)将要在中国贵州省建造[1]。与传统的射电望远镜不同,FAST的巨型反射面安置于天然的盆地上,而馈源系统则安装在舱体内。借助于伺服电机,舱体由六根上百米长的悬索拖动到指定的位置与姿态,实现对星体的瞄准,如图1所示。为保证馈源在外界因素干扰下准确地定位,在馈源舱中加装了Stewart平台,以对馈源位置、姿态进行精调[2],这种用途在Stewart平台的应用中是罕见的[3]。

　　Stewart平台在对馈源位置进行精调时,不应使舱体因Stewart平台的反作用力而产生超出精度要求的位移。即设要求平台在舱体内运动时,重量达数10吨的馈源舱接近不动(最大节点位移小于4 mm)。通过选择舱体与平台的质量比来实现这一设计要求,是设计者要采取的措施之一。为此,首先需要计算出在假设舱体不动的条件下,Stew-art平台在舱体内运动时对舱体的反作用力。然后,将计算出的反作用力施加在悬挂馈源舱系统的有限元模型上,检验馈源舱在反作用力影响下的位移是否满足精度要求。如果满足要求,认为平台精调时的反作用力不引起舱体的运动,质量比合理。本文推导了反作用力的计算公式,并给出反作用力系向舱体节点的简化结果,便于有限元动力分析加载,为进一步找到平台与舱体合理的质量比打下基础。Fichter对Stewart平台逆动力学的研究只考虑了动平台的惯性力,Do and Yang进一步考虑了腿的质量,Das-gupta则把腿的惯性矩、关节处的黏性摩擦力也一同进行了分析[3]。逆动力学研究是由已知的平台运动求腿部移动副上的驱动力。本文的研究与逆动力学研究相似,是由已知的平台运动求得腿部虎克铰处的约束力,进而得到平台对舱体的反作用力系及简化结果。文中的实例分析了馈源舱姿态、平台移动速度、平台质量对反作用力的影响。

　　1　基于Newton-Euler方法的动力学方程

　　1. 1　腿的Newton-Euler动力学方程

       Stewart平台的每条腿分上下两部分。上部通过球面副与动平台连接,下部通过虎克铰与静平台连接,如图2所示。在静平台坐标系中,整条腿的Newton方程和对虎克铰中心的Euler方程分别为

　　式中:下标di表示第i条腿的下部,ui表示第i条腿的上部 (i=1,2,…,6);m为质量;a为质心加速度,g为重力加速度;rui、rdi为虎克铰中心到腿质心的矢径,rAi为虎克铰中心到动平台点Ai的矢径,I为惯性矩;Wi为腿的角速度,Ai为腿的角加速度,ω为动平台的角速度;CdiWi为虎克铰处的黏性摩擦力矩,Cui(Wi-ω)为球面副处的黏性摩擦力矩;Fui是动平台对腿的作用力;Fdi和Mdi是本文欲求解的虎克铰对腿的约束力和约束力偶矩。由于Stewart平台安装在倾斜的馈源舱中,因此,方程(1)和(2)中引入了从整体坐标系到舱体局部坐标系的姿态变换矩阵Q。