奇异函数在结构分析中的应用

　　在目前的各种材料力学教材中,关于结构的分析(包括画结构的剪力图、弯矩图、计算结构的位移等),对结构中同时作用有集中力、集中力偶和分布荷载时,一般都是分段进行的,比较麻烦。本文中借助于奇异函数[1],对结构的内力和变形进行了分析和探讨,从而得出了一个比较简单的方法。该方法的基本思想是:首先对结构写出剪力方程和弯矩方程的奇异函数形式,再根据奇异函数的定义,画出结构的Q,M图或计算结构的位移。

　　1 剪力方程和弯矩方程的奇异函数形式

　　1.1 奇异函数的定义

　　定义对于n(n为正整数)的情形,

　　则<x-a>ⁿ称为奇异函数。

　　奇异函数的微分和积分为:

　　1.2 弯矩方程的奇异函数形式

　　文献[1]中给出了用奇异函数表示的弯矩方程。

　　当梁上同时作用有若干个集中力偶M、集中力P和连续均布荷裁q时,任意横截面上的弯矩方程为

　　其中,ai为第i个力偶作用点的x坐标,bj为第j个集中力P作用点的x坐标,ck为第k个连续均布荷

　　载起点的x坐标;规定Mi顺时针转为正,P和qk沿铅垂向上的方向为正方向,反之为负。梁的左端为坐标原点。

　　1.3 剪力方程的奇异函数形式

　　根据剪力和弯矩之间的微分关系:=Q (x)对(1)式两边求导,得全梁上的剪力方程为

　　2 利用奇异函数画结构的Q、M图

　　以上给出了剪力方程和弯矩方程的奇异函数形式,根据这两个方程,再结合奇异函数的定义,即可画出结构的Q、M图。

　　例1:画出图示梁的Q、M图。

　　解:应用奇异函数,确定梁自0~5m范围内各截面上的剪力方程和弯矩方程,需要考虑A处的支座反力YA和集中力P,集中力偶M及均布荷载q。

　　(a)A处的反力YA可根据静力平衡方程求出

　　YA=12kN

　　(b)剪力方程

　　根据(2)式,得全梁上的剪力方程为

　　分段画出剪力图,如图1-b所示。

　　(C)弯矩方程:

　　根据(1)式,得全梁上的弯矩方程为:

　　分段画出弯矩图,如图1-c所示。

　　例2:画出图示刚架的Q、M图。

　　分析:要画整个刚架的Q、M图,可分别画出立柱AB和横梁BC的Q、M图。因此,可以利用奇异函数。对AB段,可以A为坐标原点,x轴向上为正方向;对BC段,可以C为坐标原点,x轴向左为正。

　　解:(a)求支座反力

　　根据刚架的平衡,可求得RC=3kN,XA=1kN,

　　YA=2kN

　　(b)画剪力图

　　AB段的剪力方程为