基于小波变换模极大值法的薄层材料超声测厚研究

　　1　超声回波信号分析的小波选取

　　小波分析在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率,在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率,正是这种特性,使小波变换具有对信号的自适应性。但在工程应用中,用不同的小波基分析同一个信号会产生不同的结果,而且结果可能相差很远,因此应尽量选择最优小波基,使小波波形近似于待测信号。超声检测的回波信号为非平稳信号,且连续小波变换通常选用Morlet小波和Marr小波(如图1所示)。Morlet小波为高斯包络下的单频率复正弦函数,Marr小波为高斯函数的二阶导数,其定义式为:

　　和Morlet小波相比,Marr小波具有以下特点:

　　(1) Marr小波在ω=0处,(ω)有二阶零点,所以精确满足容许条件;

　　(2)Marr小波时域正则性强,时域分析能力优于频域分析能力;

　　(3) Marr小波是连续可导低通平滑函数,特别适合于应力波奇异性检测。

　　通过对比分析,可以发现Marr小波更适用于薄层界面突变信号的检测。

　　2　小波变换模极大值法检测原理

　　当Φ(t)为某一光滑函数φ(t)的n阶导数, s为尺度参数时,且该光滑函数满足此时Φ(t)满足约束条件。定义Φ¹(t)和Φ²(t)有如下的小波变换:

　　设φ_m=φ(t/s) /s,则对于一个实函数f(t)∈L²(R),有以下形式的小波变换:

　　式中:*表示卷积运算。

　　由此可见,W¹mf(t)和W²mf(t)分别正比于经φ_m(t)磨光后得到的函数的一阶导数和二阶导数。由高等数学基础知识可知,函数的一阶导数的极值点对应其二阶导数的零点,同时也是函数本身的拐点,且一阶导数绝对值的最大值对应函数的突变点(奇异点),而最小值则与函数的缓变相对应。因此,W¹mf(t)的幅值绝对值的极大值点对应于f(t)的突变点,W²mf(t)的零点与f*Φ(t)的拐点相一致。

　　假设W_af(t)为f(t)的小波变换,在尺度a=a₀下,若存在(a₀, t₀)使则称点(a₀, t₀)为小波变换极值点。若Wa0f(t)≤W_a0f(t₀) , t为t₀左、右邻域内的任意点,则称点(a0, t0)为小波变换模极大值点。跨尺度相应模极大值点坐标的连线称为小波变换模极大值线。

　　薄层材料的超声检测中,薄层与介质、基体间两界面回波产生叠加,信号发生畸变,成为突变点而被研究。基于以上理论,选取Marr小波对超声原始信号作小波变换,并取小波变换模极大值Wmf(t)进行分析, Wmf(t)对应超声信号的突变点。此即小波变换模极大值检测信号突变点的原理。