竖立球冠体内任意高度与体积关系研究

0 背 景

卧式金属储油罐在存储油品等方面应用广泛，是计量交换和存储方面很重要的计量器具之一。油罐上装有油位探针测出油位，通过预先标定好的罐容表进行实时计算，得到罐内油位高度和储油量的变化情况，以便进行油品盘点、成本考核及节油指标考核管理、实时监控等工作。

许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因使罐体的位置发生纵向倾斜和横向偏转。由于问题的复杂性本文研究平置的金属直圆筒（两端为球冠）罐体积与高度的对应关系（对于有纵向倾斜和横向偏转情况另文研究）。

1 分 析

关于金属罐直圆筒（两端为平顶）部分容积与油高关系的计算，已有正直圆筒部分容积的计算[ 1 ]，对于两端为球冠体的部分尚未见提及，一般的卧式储油罐，中间有一段为卧置的圆柱体，两端各为一个（球冠）体。见图1 ，F G为油位指针，r 为球冠所在球半径，R 为直圆筒半径。

储油罐内油品体积是油品液面高度的函数，在某一液面高度下罐内油品体积V=V1+V2=f(H2)。

式中，V1为同一液面高度下圆柱体内油品体积；H2为一液面高度下球冠体内油品体积；V 为罐内油品体积；H2为球冠内油品液面高度（标定高度）。V1的研究已有文献[1]给出了V1=f(H2)的表达式；V2的研究尚未见于正式文献，即使有未正式公开发表文章，但其中也有谬误之处，基于此，本文研究，在半径为r 的球中截一高为H 的球冠，图2 将其竖直放置，即球冠切面与地面垂直，如图3 所示。

当球冠体内液面高为H2时，油品体积为V2，寻求关系式V2=f(H2)。

2 竖立球冠体内任意高H2与容积计算

根据图4 积分公式并使用微元法得：

其中，H4与R、H2的关系式：

在计算S水平(h)时，设距O点(h)m的水平面截球冠截面为一弓形所在圆的半径为：

以上关系即V2=f(H2)可以确定球冠内油品体积V 是随着油品液面高度H 的增高而增多，降低而减少。

3 数值实例

取R=1.5m，r=1.625m，H=1m，以1cm为高，求出标定值。

此时Ve=4.0579m³。

用Matlab 拟合，得到结果：

4 结束语

在推导积分式( 3 ) 时，使用了数值积分五点公式，这是产生误差的主要原因之一。改进方法之一，求体积时减小步长；方法之二，使用更高精度的数值积分公式。

参考文献

[1] 田铁军.倾斜卧式罐直圆筒部分的容积计算[J].现代计量测试,1999,5:32-35.

[2] 管冀年,赵 海.卧式储油罐罐内油品体积标定的实用方法[J].计策技术,2004,3:24-27.