测量检验中的误收、误废和损失函数分析

　　1　损失函数分析

　　在对零件的合格性做出判断时,常涉及到误收和误废的概念。所谓误收,是指将不合格的产品误判为合格件;而误废,则是将本来合格的产品误判为不合格品。前者影响整批产品的质量,通常是应该杜绝的;后者则会造成经济损失。为了保证质量,把产品的实际参数严格控制在给定的范围之内,可在一定程度上减少误收,但同时也就难以避免地会发生一定的误废现象。

　　误废和误收一样,一般发生在极限尺寸附近。由于量具本身具有的不确定度及其他各种因素的影响,测得值与真值之间总会存在一定的差异。这就是所谓的测量误差。

　　由测量误差引起误废或误收所造成的损失,可作为测量误差的经济评价。误废所引起的主要是成本的损失。误收则主要造成质量损失。从测量的角度来讲,损失会随误差的增大而加大。当测得值等于真值时,损失为零。测得值与真值相差越远,损失也就越大。毫无疑问,由测量误差造成的损失与误差值的大小是密切相关的。

　　设测得值为x,真值为x0,此时的损失函数为L(x)。

　　以真值x0为中心,将损失函数L(x)进行泰勒展开,可得:

　　由前述,测得值与真值相等时,损失为零,有L(x0)=0,即式中的第一项为零。又因此时的损失为最小,所以其一阶导数L′(x0)=0,即式中的第二项亦为零。于是,展开式变为:

　　可见,测得值x与真值x0之差的平方项成为伴随测量误差损失的主项。将其系数记为k,就可得到近似式为:

　　在实际测量中,往往需要重复多次而不是只以一次的测量的数值作为结果,因此损失函数的计算也应当取多次测量的结果的平均值。通常需要算出标准偏差σ。记:

　　则损失函数就为:

　　式中,σ2叫作方差。

　　σ可利用定义式(6)计算,亦可由贝塞尔公式(7)求出:

　　式中:-x为算术平均值。当真值不可知时,往往用-x代替x0进行σ的计算。

　　2　k值的讨论

　　在前面的泰勒展开式中,二次项的系数记为k,这是因为L″(x0)/2!是不好求的。我们只能肯定损失函数的自变量是测量误差,却无法写出它们之间确定的函数关系。故系数k的求解就是对损失量进行计算的关键了。

　　按照田口玄一[日本]在《测量技术的实验设计方法》中的说法,零件的实际尺寸等于其某一极限尺寸时,为了防止更大的社会损失,均把它们作为不良品处理。假定由于测量误差而把真实特性值等于标准中心值m的产品误判为m+Δ(Δ为容许差)而被当作不合格品,因而把损失为零的产品错误地判断为不合格品就造成了C日元的损失(如图1),因此就有k=C/Δ2。