开口截面薄壁杆件畸变效应的分析

　　0引言

　　古典薄壁杆件理论基于以下两个基本假设m.

　　1)薄壁杆的横截面在它自身平面内被认为是无限刚性的;

　　2)沿横截面中线的剪应力等于零(对开口截面)或等于常数(对闭口截面)。

　　针对第二个假设不能反映剪切变形的影响和剪力滞后现象而产生了许多改进算法，如文献[4,5]。针对第一个假设，对矩形类闭口截面薄壁杆不论是广义坐标法还是文献[[2」中的方法都可说是改进的算法，考虑了截面的几何变形即畸变效应。但对开口截面薄壁杆件，这个假设是否还精确地成立?对有翼缘展开的箱形截面梁，展开部分考不考虑几何变形即畸变效应?本文在文献〔2]的基础上，对一类开口截面薄壁杆件切向位移的分解模式作了深入的研究，采用势能原理和半离散方法，在能量方程中考虑畸变能项。应用变分原理可导出以结点翘曲位移为未知函数的控制微分方程及其自然边界条件。对具体问题进行了算例分析后，得出了与闭口截面薄壁杆件相反的结论。

　　1 理论分析

　　1.1薄壁杆件及其纵向位移场的描述

　　任意截面薄壁杆件如图1所示，其中x, y轴位于横截面内，z轴平行于杆件纵轴。横截面上任一点的位置由坐标(s, z)确定。

　　a为x轴和任一点切线之间的夹角，ρ₁为从参考点O到任一点切线垂线的长度，当互沿z轴正向时为正。

　　本文考虑横截面为特殊构形的开口截面薄壁杆件，以一特定边为基础，其余各边可绕该边转动。在计算方法中放弃了Vlasov关于薄壁杆件的两个通常的假设，由于沿曲线坐标S方向的环向应力σ和法向应力σn远比横截面的轴向应力σz小而忽略不计。

　　采用分段的转换样条函数，其特点是:将样条函数的所有广义位移参数转换为实际结点位移参数，在任一分支段内，用转换样条函数模拟翘曲位移，然后根据分支交点处的位移协调条件，将各分支段的位移场集成，构成整个横截面的位移场。在不同的分支中，位移参数的数目可以不同。这就极大地增加了样条函数的灵活性。具体做法见文献。

　　应用转换的B₃样条函数，整个横截面的纵向位移可表示为

　　式中，Φ(S)为转换的样条函数，w(z)为节点纵向位移，n为结点位移参数总数。

　　1.2横截面位移场的描述

　　对横截面，若坚持原来的第一条假设，即横截面在自身平面内是刚性的，则描述横截面的位移有三个刚体位移，即绕纵轴的转角θ，沿定点(参考点)0的水平和铅垂位移。若抛弃横截面的刚性假设，则需增加新的描述横截面各边相对转动的自由度。对本文中所考虑的横截面，假设一边为基边，各边可绕该边转动。设各转动角为ωi，则它们就是开口截面薄壁杆件的畸变角。与此对应，横截面方向的切向位移可表示为