波叠加法在结构辐射声功率计算中的应用

    1 引言

    随着科技的发展，有限元法和边界元法被广泛应用到结构噪声的相关计算中，其中确定结构的辐射声功率是一个重要的研究课题[1,2]。但上述方法在应用过程中存在着一些不足，如单元的数目与形状直接影响着计算结果的精度，若要获得好的计算结果就需要划分较多的好的形状的单元，这样做的结果是增加了计算的时间、降低了效率。本文介绍了一种计算结构辐射声功率的方法——波叠加法[3,4]，并研究和讨论了该方法在应用过程中对单元节点数目和形状的敏感性。

    2 波叠加法原理

    波叠加法的基本思想为：复杂辐射体的声场是由包围在辐射体中的众多简单辐射声源所产生的声场叠加而来。如图 1 所示，简单辐射源在辐射体中连续分布，声场中一点r 处的声压是所有简单辐射源贡献的积分

    式中：0ρ 为介质的平均密度，ω 为包围辐射体 V 的表面 S 的谐振动的角频率；0q ( r )为在V 中分布在0r 处简单源的强度。公式中自由空间的格林函数定义为

    3 积分方程的离散化[3]

    通过上文公式的描述，若要直接积分进行声压计算是很困难的。因此，为了方便求解将叠加积分方程（1）转化为离散形式，第一步线性化欧拉方程

    将（4）代人叠加积分方程（1）中可得声场r 点处的速度为

    由此可得，辐射体表面的法向速度为

    式中：sr 为辐射体表面 S 上任意一点的位置量。为讨论方便，假设简单源分布在厚度为rδ 的虚拟薄球壳上，如图 2 所示，薄球壳称为源球。方程（6）就可转化为

    式中：σ 为源球的表面；rσ是表面上简单源的位置矢量。因为rσ的模可以总是比sr 的模小，从而在方程（7）中不存在奇异性的问题。

    第二步，可将源球的表面σ 分为 N 个部分，则每个部分的面积为iσ ，从而方程（7）可另表示为

    经过此变化，上述方程的解仍是精确解而非近似解，但如果所有的iσ 段足够小，则方程（8）中的被积函数可以认为是常数，从而，表面速度可以近似为

    该方程中：iQ 为辐射球体在位置irσ处（图 3中的ir 处）的简单源的体积速度。方程（9）给出了分布在辐射球体上 N 个简单源产生在辐射体表面的法向速度，因为 ( )n su r 已知，方程（9）可以来估计iQ 。

    假设在表面 S 上 N 个点的法向速度预先给出（实际应用中可以通过实验测得），方程（9）对 N 个未知的iQ 给出 N 个方程。其矩阵形式为

    式中：D 为 N × N的系数矩阵，称为声偶极矩阵。矩阵的每一个元素由下面的方程决定