基于弹簧阻尼模型的碰撞动力学研究

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    在工程实际中，多体系统的动力学行为往往伴随着接触碰撞的发生．关于含碰撞的多体动力学建模理论，国内外在恢复系数模型、动量平衡模型和弹簧阻尼模型 等适合碰撞的几种比较常用模型方面取得了诸多研究成果．弹簧阻尼模型假定变形发生在接触区的邻域，将接触模型简化为一个弹簧阻尼系统，认为碰撞过程不再是 瞬时的过程，可以通过模型的数值分析计算碰撞力和作用过程［１］，能够很好地对低速碰撞问题进行模拟．本文基于等效弹簧阻尼模型对多体系统进行碰撞动力学 建模研究．

    １　基于能量关系的等效弹簧阻尼模型

    等效弹簧阻尼法认为接触力是一种特殊的力，将碰撞过程中碰撞现象处理为连续的动力学问题，将接触力等效成一个弹簧阻尼模型（图１）．设两个物体接触点的曲率半径分别为ｒ１ｒ２，接触面法线正向为ｎ．考虑材料阻尼，广义的Ｈｅｒｔｚ公式具有如下形式［２］

    Ｆ ＝ｋδｎ＋Ｄδ　（ｎ＝１．５）．（１）

式中：δ为两个物体沿接触面法向相对压入型变量δ为相 对 压 入 速 度．根 据Ｈｕｎｔ和Ｇｒｏｓｓｌｅｙ的 研究［３－４］，阻尼系数Ｄ ＝λδｎ．ｋ为弹性力学中的Ｈｅｒｔｚ刚度，它取决于材料特性和曲率半径，可表示为

式中Ｅｉ和ｖｉ分别为两个物体的弹性模量和泊松比

    １．１　滞后阻尼系数计算

    将碰撞过程分为压缩阶段和恢复阶段．在压缩阶段，两个物体沿接触面法向产生形变直到两个物体的相对逼近速度为零，此时相对压缩量达到最大值δｍ，随后开始 恢复阶段直至两个物体分离，碰撞结束．根据Ｈｕｎｔ假设，碰撞期间的能量被阻尼耗散，式（１）表示的接触力模型相对于压入量的关系呈滞后形式（图２）．

    根据能量关系确定滞后阻尼系数λ与碰撞前后的速度关系，基于Ｎｅｗｔｏｎ恢复系数ｅ，计算碰撞期间系统的动能损耗

    此外，碰撞导致的能量损耗也可沿图２所示的滞后环进行积分获得，即

     比较式（３）和（４）可见，恢复系数和滞后阻尼系数之间满足

    １．２　最大压缩量的计算

    压缩阶段，两个物体的运动方程可以等价为

对上式进行积分，有

这里δ０＝υ０－υ２０．在压缩阶段结束时，相对压缩量达到最大值δｍ，而δ＝０，代入式（６）可以解出