弹性导轨受力变形分析计算

　　1　引　　言

　　弹性导轨是一种精密的既能支撑又能导向的微位移导轨。这种导轨具有较高的位移分辨率(可达1μm)和较高的导向精度,没有机械摩擦、没有间隙、不需要润滑、不存在爬行现象,而且结构紧凑,体积小,重量轻,易于加工装配。因此,弹性导轨在精密定位中得到广泛的应用。弹性导轨在外力作用下产生弹性变形。一般情况下,外力与变形的关系往往是根据经验估算的。精确推导变形计算公式是困难的。1965年,J.M.Paros推导了R t条件下的计算公式[1];清华大学精密仪器及机械学系在设计微位移工作台系统时利用数值积分方法推导了了R≤t条件下的计算公式[2]。这些公式都是近似的并且具有一定的局限性。本文推导了在任何条件下通用的并且是精确的弹性导轨变形计算公式。

　　2　弹性导轨受力分析

　　如图1所示的弹性导轨是一种平行四边形机构,由四个铰链组成。在外力作用下,铰链产生弹性变形。由于导轨上其他部分比铰链厚得多,因此,可看作刚体,不产生变形。这样,导轨受力时,与铰链相连的工作台作平移运动。

　　对铰链而言,它不仅受到外力F= 2P的作用,而且还受到一个由刚体产生的附加力矩M0的作用。在外力F和力矩M0共同作用下,铰链A上的横切面受到的弯矩为:

　　M(x) =-p(L+ 2R+Δ-x) +M0(1)

　　铰链B上的横切面受到的弯矩为:

　　M(x' ) =-p(Δ-x′) +M0(2)

　　弹性导轨在外力作用下平动,因此铰链A左端面与铰链B右端面不产生转动,而铰链A右端面与铰链B左端面转动方向相反、转角大小相等。整个铰链A和整个B变形方向相反、形状相同。也就是,如果x′=-x,那么M(x′) =-M(x)。据此,求得M0为:

　　M0=pΔ+p(L+ 2R)/2 (3)

　　将M0代入(1)式,铰链A上横切面受到弯矩为:

　　M(x) =px-p(L+ 2R)/2 (4)

　　3　弹性导轨铰链转角计算

　　为了计算铰链的转角,可将铰链看成是一端固定的悬臂梁。根据材料力学理论[3],梁的转角与弯矩之间的关系为:

　　式中,b为铰链材料的弹性模量,I为梁横截面的惯性矩,铰链截面为方形时,其对应的I为:

　　式中,b为铰链的厚度,h为铰链某一处的宽度,且

　　将(4)式、(6)式、(7)式代入(5)式,铰链上某一位置x处的转角为:

　　令 ,对上式进行变量替换,并取x=2R,从(8)式推导出铰链A右端面的转角为:

　　对上式积分进行复杂的变换和计算后,得到:

　　式中,。令,

　　代入(7)式,得到: