利用分数傅里叶变换设计衍射光学元件

　　1 引 言

　　随着光学研究的发展，人们需要光学图形之间的任意转换，希望能够设计一种光学元件，经一束光照射后，经过一段空间传播，在另一平面上得到所要求的图像。传统的几何光学是建立在物、像相似的基础上的，因而不能应用于衍射光学元件的设计之中。王润文^[1] 等人从菲涅尔衍射出发，研究了发射和接收两个平面之间的物像光系，在确定了像平面上的复振幅之后，可以逆推出原始发射平面上的振幅和相位分布，从而进行衍射光学元件的设计。分数傅里叶变换是传统的傅里叶变换在分数级次上的推广，它同傅里叶变换和菲涅尔变换都有着密切的关系，并广泛地应用在相位恢复、透镜设计、空间变化滤波以及光学信息处理等领域。

　　本文将利用分数傅里叶变换与菲涅尔变换的关系，推导出发射平面和接收平面的物像关系，并利用这一关系进行衍射光学元件的设计。由于分数傅里叶变换具有同快速傅里叶变换一样有效的快速算法，因而利用这一新方法进行衍射光学元件的设计将会更加快速有效。

　　2 光学球面衍射与分数傅里叶变换

　　分数傅里叶变换的概念是在 1937 年首次提出的^[2] ，1961 年，Bargmann[3]又进一步发展了这一概念。随后 Namias^[4] 在 1980 年完整地提出了分数傅里叶变换的数学定义、性质，并利用它来求解量子力学中的偏微分方程。1987 年，McBride 和 kerr 进一步研究了分数傅里叶变换，并建立了更为严谨、完整的理论体系。但随后多年对于分数傅里叶变换的研究似乎显得很沉静。直到 1993 年，才由Mendlovic[5, ^6] 等人利用渐变折射率介质将其引入光学领域。随后 Lohmann 利用 Wigner 函数旋转的方法给出了分数傅里叶变换的另一种定义，研究证明，这两种定义是完全等价的。分数傅里叶变换的提出开辟了光学信息处理领域的新课题^[6~10] 。

　　分数傅里叶变换的定义为：

　　其中，λ是照明光波长，FI是标准焦距，U ₁和U ₂分别是输入和输出函数，α =Pπ/2 是分数级次 P决定的角度。P 介于[-2，2]，对于其它级次可利用FP+4l=FP(l 为任意整数)得到。将式(1)扩展，考虑输入和输出函数都具有尺度因子的情况，则可以得到具有更普遍意义的分数傅里叶变换表达式^[7] :

　　其中 M，N 分别是输入和输出平面上的尺度因子，并具有长度的量纲。当 时，式(1)和式(2)完全等价。下面讨论光学衍射和分数傅里叶变换的关系。考虑如图 1 所示的结构：

　　两个球面的曲率半径分别为 R ₁和 R ₂，球面上的复振幅分布为 U ₁( x1)和 U ₂( x)，在傍轴近似下，可以得到U₁ 和U ₂的关系为：