基于Matlab的正多边形零件连续加工的误差分析

　　0 引言

　　端面为正多边形的零件在生产中经常会碰到，此类零件通常采用铣床、刨床进行加工，加工工艺比较复杂，而且含有间隙分度和空行程等非连续运动，难以进步加工效率。利用摆线原理加工正多边形零件是一种新方法，该加工方法所需运动个数少，而且运动连续，加工效率较高。

　　Matlab是MathWorks公司于1982年推出的一套高性能的数值计算和可视化软件，它集数值分析、矩阵运算、信号处理和图形显示于一体，构成了一个方便的、界面友好的用户环境。在这个环境下，对所要求解的题目，用户只需简单地列出数学表达式，其结果便以数值或图形方式显示出来。

　　本文利用Matlab软件，分析摆线方程中各参数对摆线外形的影响，研究摆线逼近直线的逼近规律及其误差分布。对多边形零件进行了计算分析，通过迭代运算，分别计算出满足加工精度所需的最小e值(刀具的最大回转半径)和在给定的最大回转半径下的误差值，证实了利用摆线原理加工多边形零件的可行性。

　　1 摆线的参数方程

　　在数学上摆线定义如下：假如一动圆在与其相切的定圆上作无滑动的转动时，动圆上一个定点运动的轨迹称为摆线。我们把动圆称为基圆，把定圆称为发生圆。如图1所示，设基圆半径为R，发生圆半径为rP为与发生圆固联的一点，P到发生圆圆心的间隔为e，发生圆由水平位置I开始沿基圆做纯转动，在位置I处固联点P位于茗轴上，当发生圆转动到位置Ⅱ(位置I与位置Ⅱ的夹角为a)时，发生圆的自转角为口，则P点的轨迹可表示为：　　

　　图1 摆线爹数

　　2 各参数对摆线外形的影响

　　2.1 是R与r对摆线外形的影响

　　令e>r，即P为发生圆圆外一点，当R=3*r时的摆线轨迹如图2所示。中心有一近似正三边形的内核，假如我们要在给定直径的棒料上加工满足一定精度要求的正n边形，我们需要做如下工作：

　　(1)使基圆与发生圆的半径比满足R：r=n;

　　(2)调整r值的大小，使正n边形的顶点与棒料的圆周重合;

　　(3)定义加工出的正多边形中点到理论中点间的间隔为加工误差，调整r值与e值的大小，使误差满足精度要求。　　

　　图2 摆线切割正三边形

　　对于给定的e值，随着r值的增大，正多边形的边长也随着增大。图3为e=35时不同的r值所对应的加工正三边形的摆线轨迹，可以看出r值越大，正三边形边长中点处的摆线段的曲率半径就越大。此处的摆线就越接近直线。　　

　　图3 不同r值所对应的摆线轨迹