用变换矩阵及最优化的标定方法解决数码相机定位

    0 引言

    在计算机视觉中,三维空间中的物体到像平面的投影关系即为成像模型,理想的成像模型是光学中的中心投影,也称为针孔模型。针孔模型假设物体表面的反射光都经过一个针孔而投影到像平面上,即满足光的直线传播条件。针孔模型主要有光心(投影中心)、成像面和光轴组成。小孔成像由于透光量太小,因此需要很长的曝光时间,并且很难得到清晰的图像。实际摄像系统通常都由透镜或者透镜组组成。两种模型具有相同的成像关系,即像点是物点和光心的连线与图像平面的交点。因此,可以用针孔成像原理作为摄像机成像的简易模型。

    1 模型建立

    1.1 简单的针孔成像模型

    对靶标上的任意一点M x0,y0,z0通过光学中心O的直线满足参数t的关系建立如下向量数学模型:

    则由光学中心到像平面的距离m,可得任意靶标在像平面上的坐标为

    1.2 实际摄像过程中靶标圆心在像平面的定位模型假设该相机的像距(即焦点到像平面的距离)是1577个像素单位(1毫米约为3178个像素单位),相机分辨率为1024@786,则该相机的像距

    在物平面上建立物体坐标系O -XYZ,数字图像扫描时以像素为单位,故建立原点位于图像左上角,X',Y'平行于相机坐标系的x和y轴的图像像素坐标系。则物体坐标系O -XYZ中的点到摄像机坐标系o -xyz的变换可由一个正交变换矩阵R和一个平移变换矩阵T表示为:

    其中,是物平面空间直角坐标系原点在相机坐标系中的坐标,即平移向量。矩阵R是空间轴系旋转的变换矩阵,它是一正交矩阵。ai,bi,ci为方向余弦,其矩阵元素满足

    这九个方向余弦中只有三个独立参数,设为绕x轴旋转的转角A,绕y轴旋转的转角B和绕z轴旋转的转角C,则物体坐标系转换为相机坐标系变换式可写为

    相机坐标系中的点A与其像平面的像坐标的关系为:

    将上式的图像物理坐标系转化为图像像素坐标系为:

    其中,u0,v0是图像中心(光心在图像平面的投影)坐标,dx,dy分别为一个像素在X与Y方向上的物理尺寸,sx=1/dx, sy=1/dy为采样频率,即单位长度的像素个数[1]。

    由此可得到物点A与图像像素坐标系中点的变换关系:

    其中fx=fsx,fy=fsy分别定义为X与Y方向的等效焦距。fx,fy,u0,v0等四个参数称为相机内部参数物体坐标系与图像坐标系的变换为: