对称变换在对称型微结构建模中的应用

　　0　引言

　　对工程技术人员而言,建模是一个非常重要的问题.在工程实际尤其是微机械中有很多模型具有对称性,巧妙利用其对称性,可得到一个相对简单的数学模型.在通常情况下,中心对称机构在受到外力作用时,其约束反力是不对称的,但当它只受到一沿其对称轴方向的外力时,各约束反力虽然可能不具备中心对称性,却会关于该轴对称.因此,在针对对称型微结构建立力学模型时,不能像文献[1,2]那样根据其结构特点取其被两个对称轴分割后的1/4结构来建模,否则会产生与实际情况有较大偏差的结论;目前常用的是取水平对称轴一侧的部分,即整个机构的1/2来建模[3],但此时直接建模往往需要大量的推导工作量,增加了模型公式推导的难度.为解决这个问题,本文采用了一种利用对称变换和结构简化相结合的方法,经验证能显著减小建模工作量,减少推导过程中的失误.

　　1　对称变换关系的推导

　　对任一对称型结构,描述其状态的各物理量之间存在特定的关系,这些关系往往由该结构本身的特性参数所决定,而与坐标系的选取无关.因此,可在该机构中建立两类坐标系,一类为固连在各对称结构上的局部坐标系,另一类为反映整个机构参数的固定坐标系.在已知对称机构中任一结构各物理量关系的前提下,利用坐标变换和对称关系,推导出其余结构的各量所满足的新的关系.本文简称这种方法为对称变换法.结合图1可分析任意对称的两个独立结构变换前后的关系.

　　图中共有四个独立的复合梁图形,观察可知,结构①与结构②、结构③与结构④关于Y轴对称,①与④、②与③关于X轴对称,①与③、②与④关于固定坐标系的原点O对称,共有3类对称关系.因此可用结构①与结构②分析关于Y轴的对称变换;用结构①与结构④分析关于X轴的对称变换;用结构①与结构③来分析关于坐标原点O的对称变换.

　　为方便说明,本文以二维平面运动为例,建立右螺旋坐标系XOY,并取逆时针方向为转角的正方向.在此坐标系中,结构①中各量之间的关系如式(1):

　　φ(Δx,Δy,Δθ,αX,αY,βX,βY,γθ,…)=0(1)

　　其中:Δx,Δy分别代表点A所在处的横截面位移沿X轴、Y轴的分量;α,β,…等代表与点A有关而与转动无关的矢量(如A点处的受力、速度、加速度等);αX,βX,…可代表这些矢量在X轴上投影,αY,βY,…代表这些矢量在Y轴上投影;Δθ代表点A所在横截面的角位移沿转动正方向投影;γθ代表与点A有关的转动矢量(如A点处所受的力矩、A点所在的横截面转动角速度、角加速度等)沿转动正方向投影.