弹性矩形悬臂中厚板弯曲问题积分变换解

　　0　引言

　　在土木工程领域中，弹性矩形悬臂板是一种比较常见的结构形式，例如大型结构物中的悬挑结构等，因此对其力学模型的分析一直是力学界和工程界的研究重点.传统的Kirchhoff薄板理论由于忽略了横向剪切变形对板挠度的影响，即使对于厚度较小的薄板其计算结果也是近似的，并且随着板厚度的增加，近似程度也在逐渐加大.

　　在实际工程中，悬臂板的厚度往往很大，因此很多学者相继建立了考虑横向剪切变形的中厚板理论，其中以Reissner和Mindlin理论应用得较为广泛[1].

　　由于中厚板的控制方程比薄板更为复杂，而且很难精确满足悬臂中厚板的2个自由角点的边界条件，故寻求其精确解是非常困难的，历来被认为是弹性力学中的著名难题.

　　许多学者先后采用了不同的理论进行求解.如文献[2、3]和[4、5]分别采用有限元、边界元的方法求得了中厚板的近似解，文献[6、7]计算了Kirchhoff薄板与Mindlin中厚板并进行了对比，但这类方法的缺点是输入输出量大，计算较麻烦，且仅为近似解;程昌钧将广义简支边和叠加法相结合，选择三角级数和多项式作为挠度函数进行求解[8]，叠加的求解过程复杂，且对于不同的荷载位置和荷载类型均需要重新计算，求解效率不高.

　　曲庆璋等采用傅里叶级数法进行求解[9]，该方法需要预先人为选取位移函数，若选取不当，则无法进行计算，但位移函数的选取具有一定的任意性，无确定的规律可寻.钟万勰等基于辛正交关系，在哈密顿体系下推导出了非对边简支矩形板的级数解[10～12]，为中厚板问题的求解开辟了全新的思路.积分变换作为求解高阶偏微分方程的有力工具，一般多用来求解无限或半无限域问题.

　　本文从Mindlin弹性中厚板理论的基本方程出发，采用有限域积分变换方法推导完全满足悬臂中厚板边界条件的挠度精确解，并证明其通用性.

　　1　矩形中厚板方程和有限域积分变换矩形中厚板控制方程为[13]

　　式中：D=Eh3/12(1-μ2)，为板的抗弯刚度;C=5Eh/12(1+μ)，为板的抗剪切刚度;E、h、μ分别为板的弹性模量、厚度、泊松比;q为作用于板表面的外力荷载.

　　上述方程组含有3个广义位移，其中W(x，y)为板的挠度函数，φx、φy为变形前垂直中面的直线段在xz、yz平面内的转角.板的弯矩为

　　由于三式中均含有对x或y的一阶偏导数，为使求解过程中挠度和转角表达形式统一，需用到不同的积分变换核.

　　对于任意函数f(x，y)的二维有限域半正弦及余弦混合积分变换可以表示为

　　分别为矩形厚板的长度、宽度.式(1)第1式中各项偏导数的二维有限域半正弦-余弦积分变换为