GM屈服准则求解I型裂尖塑性区

    GM 屈服准则为几何中线屈服准则的简称[1―2]，目前已在锻造[3]、拉拔[4]等金属成形以及管线爆破压力求解[5]中获得初步应用。由于该准则的屈服轨迹为π平面上Tresca和双剪应力[6―7](TSS)屈服轨迹构成的误差三角形的几何中线 B  F B，并与 Mises圆相交，如图 1。所以，深入研究其对 Mises 准则的线性逼近程度具有重要意义。为扩大 GM 准则在工程中的应用范围，本文拟用该准则求解 I 型(opening mode)裂尖塑性区[8]的形状与尺寸，并与Mises 与 Tresca 传统解析结果进行比较。有关 GM准则的详细证明请见文献[1―2]。

    当1 2 3  ≤   ≤  时，GM 屈服准则的线性表达式为[1―2]：

    1 线弹性体断裂力学裂尖的应力场

    无限大平板上长度为2a的I型穿透性裂纹无限远处受拉应力作用，如图 2 所示。裂尖处主应力场为[9]

    2 裂尖塑性区解析

    假设：① K 场可一直延续到弹塑性边界(无过渡区)；② 忽略裂尖材料屈服后对塑性区外 K 场的影响；③ 材料为理想弹塑性材料。将 f (   ), g (   )定义为反正弦函数，则(rp, θ)表示塑性区边界上的点的轨迹方程即可由联解方程式(2)与式(1)求得。

    足见塑性区轨迹均为I/sK   、  与  的函数。

    3 与传统解析解的比较

    Tresca 准则对 I 型裂尖塑性区平面应力与平面应变的求解结果分别为[10]：

    Mises 准则对 I 型裂尖塑性区平面应力与平面应变的求解结果分别为：

    三准则比较如图 3，平面应力下，Tresca 准则裂尖塑性区面积最大并呈哑铃状；Mises 与 GM 准则的塑性区均呈豆芽状且面积较小，二者面积极为接近且轨迹多次交叉。图 4 为     1/ 3时，平面应变状态三者结果比较，表明：三者塑性区形状均呈哑铃状，但仍是 Tresca 准则的面积最大；GM 准则面积与 Mises 面积极为接近并介于 Tresca 与 Mises 面积之间。图 5 为用 GM 准则同时解析平面应力与平面应变，则 I 型裂尖塑性区无论面积与形状均相差悬殊，平面应力塑性区为豆芽状，平面应变为哑铃状，前者面积远大于后者。

    4 结论

    (1) 首次以 GM 屈服准则，推导出平面应变和平面应力条件下的 I 型裂尖塑性区方程。表明 GM的 I 型裂尖塑性区轨迹为I/sK   、  与  的函数。

    (2) 与 Tresca、Mises 屈服准则求解结果进行了比较，表明：GM 准则的塑性区面积均小于 Tresca求解结果；平面应力时其塑性区呈豆芽状并与Mises 塑性区边界多次交叉；平面应变时其塑性区呈哑铃状；但无论平面应力或平面应变 GM 结果均介于 Tresca 与 Mises 结果之间。边界轨迹与 Mises非常接近。