压电控制层合梁的振动分析

　　O前言

　　近几年来，随着智能材料研究的深入发展，自适应结构的研究也进入了一个新的阶段。压电材料由于其独特的性能:压电材料价廉，重量轻，容易成型，较易固定在结构表面，并且稳定性好和控制电路简单，不论是在作为测量用的传感器方面，还是在作为控制用的激励器方面都得到了越来越广泛的应用，尤其是把压电薄膜用在控制结构振动和噪声方面。这方面一个很重要的研究领域就是研究结构变形和压电材料压电效应的藕合作用的数学模型方法阁。1987年Lee图在Love理论的基础上推导了具有压电层的复合层板的运动方程，但Lee的模型并未考虑到电场条件变化对复合层板振动固有特性的影响。本文介绍一种新的方法，分析电场条件对层合梁固有特性的影响，并以两端简支层合梁为算例进行分析，并将计算结果与实验结果进行比较，从而证明了本文分析方法的正确性。

　  1、理论分析

　　1.1压电层本构关系

　　假定压电层变形模式符合Kirchhoff假设，那么对于簿的压电层可按平面应力状态分析，根据文献^[1]得到应力与应变关系如下:

　为平面应力.为对应的应变;Y_z为压电簿层的弹性模量;U₁为压电薄层的泊松比ßE₃表示作用在压电簿层上下表面上的电场强度;。分别为压电薄层的压电应变系数，对于PVFZ材料

　　1.2压电层合梁分析

　　对于如图1所示的压电层合梁，假定压电压合梁的变形符合Kirchhoff假设，那么压电层合梁的位移场如下:

　　其中U_x，U_y为在X，Y方向上的位移，W为在Z方向上的位移。

　　根据线弹性小变形理论，得到压电层合梁的应变一位移关系如下:

　　考虑到压电层合梁受横向载荷和电场的作用导出压电层合梁弯曲的运动方程:，应用Hamilton原理，在参考文献的基础上推导出压电层合梁弯曲的运动方程:

　　式中h₁，h₂分别为弹性层和压电层的厚度;p₁，P_z分别为弹性层和压电层的质量密度为弹性层的平面应力.之，为压电层的平面应力;p，Q分别为横向外载荷均布力和压电层表面电荷量;为压电层表面电势量，e_x为压电薄层材料压电应力常数。假定压电层合梁的电位移沿电压层的厚度方向上为一常数，并考虑到压电层合梁的变形很小，对(5)式简化推得:

　　Y_p为弹性层的弹性模量;v₀为作用在压电薄层上下表面上的电压;e_s为压电薄层材料压电应力常数。