用最小二乘直线法求取直线度误差

    1 评定直线度误差方法分析

    评定直线度误差的原则为最小条件原则,即包络被测实体的区域要最小。在给定平面内的直线度误差值,一般采用最小区域法或两端点直线法来进行评定。最小区域法评定直线度误差符合最小条件,因此它是国家标准规定的评定方法,由于最小区域法计算较复杂,一般用于作图法。两端点法评定直线度误差因计算简单,易于实现,通常用于计算法评定直线度误差,但两端点直线法采用误差曲线首末两端点的连线为理想直线,以误差曲线对该理想直线的最大正偏差与最大负偏差之差作为该误差曲线的直线度误差,该理想直线受末端点的坐标值影响极大,并且误差曲线对该理想直线的最大正偏差与最大负偏差之差不是极小值,所以得出的直线度与最小区域法相比有较大的误差。是否有一种近似计算方法与最小区域法相比,数学模型容易建立,与两端点直线法相比,更接近于符合最小条件的直线度误差评定方法呢?笔者就此问题进行了探讨。

    设有一条理想直线,使各测点距离该直线的偏差都极小,则以该直线为理想直线,作为评定直线度误差的基准,求出误差曲线对该理想直线的最大正偏差和最大负偏差,由于误差曲线对该理想直线的偏差都是极小值,这样得出的直线度误差与两端点直线法相比,更符合最小条件。因为最小二乘线就是一条各测点到该直线的距离都是极小值的直线,因此,可以以最小二乘线作为基准直线来计算各测点对其的偏差值,其中最大正偏差与最大负偏差之差为直线度误差值。按上所述对直线度误差的数据处理方法,概括如表1。

    2 实例对比分析

    对任意被测直线L,等分8个测点进行测量,8个测点读数值依次为(单位:Lm):0、+5、+5.5、-1、+1、-1、-0.5、+7,根据测量的数据,按照上述的直线度误差评定方法,分析处理情况如下。

    (1)用两端点直线法计算直线度误差。根据两端点法评定直线度误差的计算方法,各项计算结果见表2,误差曲线图见图1。

    表2中:

    累计值—;转换坐标量—;偏差值—

    根据表2,用两端点直线法求得直线L的直线度误差T1=+4.5-(-5.0)=9.5µm1

    (2)用最小二乘直线法计算直线度误差。设最小二乘直线的方程为y=ax+b,根据(表2)中测量序号Xi、测量读数Yi,参考[3],得

    则误差曲线的最小二乘线方程为:

y=0.0476x+1.7857(1)

    按最小二乘直线法评定直线度误差的定义,(图2)L1-L2区域的宽度即为用最小二乘直线法求取的直线度误差,根据a及A点的坐标(8,7)可得包络直线L1的方程式为:L1=0.0476Xi+6.62,得截距b1=6.62,根据a及B点坐标(6,-1),可得包络直线L2的方程式为: